Determinar as raízes (zeros), os campos positivos e os campos negativos da função y , se:

  1. y = 1 + x ;
  2. y = 2 + x - x^2 ;
  3. y = 1 - x + x^2 ;
  4. y = x^3 - 3x ;
  5. y = lg(2x / (1 + x)) .

Passo 1

Vamos lá!

Para achar as raízes da função, precisamos encontrar os valores de x que fazem y = 0 . Depois encontramos os intervalos onde y é positivo e negativo.

  1. y = 1 + x
  2. A raiz será:

    0 = 1 + x → x = - 1

    Para x < - 1 teremos y negativo, e para x > - 1 teremos y positivo.

    Logo, a raiz é x = - 1 , o campo negativo é x < - 1 e o campo positivo é x > - 1 .

    Passo 2

  3. y = 2 + x - x 2 ;
  4. As raízes serão:

    - x 2 + x + 2 = 0

    Δ = b 2 - 4 a c = 1 2 - 4 - 1 2 = 1 + 8 = 9

    x = - b ± Δ 2 a = - 1 ± 9 2 ( - 1 ) = - 1 ± 3 - 2 x = - 1 + 3 - 2 = 2 - 2 = - 1 x = - 1 - 3 - 2 = - 4 - 2 = 2      

    Então, para o intervalo x < - 1 , vamos testar x = - 2 :

    - - 2 2 + - 2 + 2 = - 4 - 2 + 2 = - 4

    Para o intervalo ] - 1 ,   2 [ , vamos testar x = 0 :

    - 0 2 + 0 + 2 = 2

    Para o intervalo x > 2 , vamos testar x = 3 :

    - 3 2 + 3 + 2 = - 9 + 5 = - 4

    Logo, as raízes da função são x = - 1 e x = 2 , os campos negativos são nos intervalos x < - 1 e x > 2 , e o campo positivo é o intervalo ] - 1 ,   2 [ .

    Passo 3

  5. y = 1 - x + x 2
  6. As raízes da função são:

    Δ = b 2 - 4 a c = - 1 2 - 4 1 1 = 1 - 4 = - 3

    Com Δ negativo, não teremos valores reais de x como zeros da função.

    Vamos então testar um valor de x = 3 :

    1 - 3 + 3 2 = 1 - 3 + 9 = 7

    Se x = - 3 :

    1 - - 3 + - 3 2 = 1 + 3 + 9 = 13

    Logo, a função não cruza o eixo y , não possuindo raízes reais. E para qualquer valor de x a função é positiva. Então o campo positivo da função é o intervalo [ - ∞ , ∞ ] .

    Passo 4

  7. y = x 3 - 3 x
  8. Encontrando as raízes:

    0 = x 3 - 3 x = x ( x 2 - 3 ) x = 0                                                                                                           x 2 - 3 = 0 → x 2 = 3 → x = ± 3

    Analisando o intervalo x < - 3 , adotando x = - 2 :

    - 2 3 - 3 - 2 = - 8 + 6 = - 2

    Para o intervalo ] - 3 ,   0 [ , adotando x = - 1 :

    - 1 3 - 3 - 1 = - 1 + 3 = 2

    Para o intervalo ] 0 ,   3 [ , adotando x = 1 :

    1 3 - 3 1 = 1 - 3 = - 2

    E para o intervalo x > 3 , adotando x = 2 :

    2 3 - 3 2 = 8 - 6 = 2

    Logo, as raízes da função são x = 0 e x = ± 3 . Os campos negativos são os intervalos ] 0 , 3 [ e x < - 3 . E os campos positivos são os intervalos ] - 3 ,   0 [ e x > 3 .

    Passo 5

  9. y = lg ⁡ 2 x 1 + x

Encontrando a raiz:

0 = lg ⁡ 2 x 1 + x

e 0 = e log ⁡ 2 x 1 + x

1 = 2 x 1 + x

1 + x = 2 x

1 = x

Como sabemos, de acordo com as condições de existência de um logaritmo, o logaritmando deve ser um número positivo e diferente de zero. Logo, para valores negativos de x , só teremos valores positivos no logaritmando, quando x < - 1 , assim, com o sinal negativo no numerador e no denominador da fração, teremos um quociente positivo.

Então, para o intervalo [ - ∞ ,   - 1 [ , vamos testar x = - 2 :

lg ⁡ 2 ( - 2 ) 1 - 2 = lg ⁡ - 4 - 1 = lg ⁡ 4 = 0,6020

Para o intervalo ] 0   ,   1 [ , adotando x = 0,5 :

lg ⁡ 2 ∙ 0,5 1 + 0,5 = lg ⁡ 1 1 , 5 = lg ⁡ 0,6666 = - 0,1760

E para o intervalo ] 1   ,   ∞ ] , vamos testar x = 2 :

lg ⁡ 2 ∙ 2 1 + 2 = lg ⁡ 4 3 = 0,1249

Portanto, a raiz da função é x = 1 , e os campos positivos da função são os intervalos x < - 1 e x > 1 , e o campo positivo da função é o intervalo 0 < x < 1 .

Resposta

Pronto, achamos as raízes e os campos positivos e negativos das funções.

Ficou claro?