Determinar o retângulo de área máxima que pode inscrever-se num semicírculo, tendo um dos lados sobre o diâmetro.

Passo 1

Fala ae, blz??Nessas questões o primeiro passo é desenharmos a situação e depois equacionarmos o problema. Assim, chamando a largura do retângulo inscrito de y e o comprimento de 2x, temos:

Dessa forma, conseguimos relacionar x e y com R, obtendo nosso vínculo geométrico. Assim, por Pitágoras:

R 2 = x 2 + y 2 → y 2 = R 2 - x 2 → y =   R 2 - x 2

Passo 2

Para maximizarmos a área, basta derivarmos a expressão em relação a uma das variáveis (tanto faz x ou y, é análogo) e depois igualarmos a zero para encontrar o ponto crítico.

A = 2 x . y → A = 2 x R 2 - x 2

Derivando em função de x:

A ' = 2 R 2 - x 2 + 2 x . 1 2 . 1 R 2 - x 2 - 2 x → A ' = 2 R 2 - x 2 - 2 x 2 R 2 - x 2 →  

A ' = 2 R 2 - x 2 - x 2 R 2 - x 2 = 2 R 2 - 2 x 2 R 2 - x 2

Igualando a zero para acharmos o ponto crítico:

A ' = 2 R 2 - 2 x 2 R 2 - x 2 = 0 → 2 x 2 - R 2 = 0 → 2 x 2 = R 2 → x = 2 R 2

Passo 3

Tendo x, podemos voltar naquela primeira expressão que encontramos (do vínculo geométrico) para acharmos y:

y =   R 2 - x 2 → y =   R 2 - R 2 2 =   R 2 2 = R 2 2

Logo, a base (2x) vale o dobro da altura (y) do retângulo.

Resposta

B a s e   d o   r e t â n g u l o = 2 R   e   A l t u r a = 2 R 2