Determinar os valores das constantes a, b e c para os quais os gráficos dos dois polinômios f(x) = x² + a*x + b e g(x) = x^3 - c se intersectam no ponto (1,2) e admitem a mesma tangente naquele ponto.

Passo 1

Nosso primeiríssimo passo é encontrar a função do declive que nada mais é do que o coeficiente de angulação, para isso basta fazermos a derivada de primeira ordem, assim:

f ' x = d d x x 2 + a x + b   = x 2 + a

Sabendo que o enuncia disse que a tangente ocorre no ponto (1,2), então nós substituir para encontra o nosso primeiro valor de a:

( 1 ) 2 + a = 2       →       a = 1

Passo 2

Bom, nós já temos o valor de a, o que acontece se nós substituir a e o ponto (1,2) na equação de f(x)?? Olha só

f 1 = ( 1 ) 2 + 1 1 + b = 2       →       b = 0

Passo 3

E por fim, o valor de c depende só da função g(x), a nossa estratégia vai ser substituir o ponto (1,2) e isolar o c, olha só:

g 1 = ( 1 ) 3 - c = 2       →       c = - 1

E... Finalizamos upiiiiii !

Resposta

  a = 1     ;     b = 0     ;     c = - 1