Determinar o vetor tangente ao hodógrafo no ponto indicado:

p → t = (1 - t, 1 / (1 - t)), P(-1, -1)

Passo 1

Fala, galeeera!

No cálculo, quando falamos de vetor tangente, nós estamos procurando a derivada!

Sendo assim, primeiro vamos separar as coordenadas de p → ( t ) , derivar e depois aplicar no ponto, beleza?!

Vamos por partes:

p → t tem coordenadas:

x t = 1 - t

y t = 1 1 - t

Derivando uma a uma, temos:

x ' t = - 1

y ' t = 1 ' 1 - t - ( 1 ) ( 1 - t ) ' ( 1 - t ) ² = 0 - ( - 1 ) ( 1 - t ) ² = 1 1 - t 2

Então a nossa derivada ficou assim:

p → ' t = - 1 , 1 1 - t 2  

Passo 2

Agora vamos aplicar o ponto P ( - 1 , - 1 ) na derivada e determinar o vetor tangente ao hodógrafo.

Você deve estar se perguntando... se eu tenho 2 coordenadas no ponto P , como vou saber qual o valor de t aplicar na minha derivada?

É bem simples, segue o fio:

Vamos igualar as coordenadas de p → ( t ) às coordenadas do ponto P e resolver o sisteminha:

1 - t = - 1 1 1 - t = - 1

Logo, temos que:

1 - t =   - 1

- t =   - 1 - 1

- t = - 2

t = 2

Passo 3

Agora sim! Já sabemos que t = 2 , agora vamos substituir t na nossa derivada e achar a solução:

p → ' 2 = ( - 1 , 1 1 - 2 2 )

p → ' 2 = ( - 1 , 1 )

Resposta

p → 2 = ( - 1 , 1 )