Determinar o vetor tangente ao hodógrafo no ponto indicado:

h → t = s e n t , c o s t , t ,             P 1,0 , π 2

Passo 1

Fala, galeeera!

No cálculo, quando falamos de vetor tangente, nós estamos procurando a derivada!

Sendo assim, primeiro vamos separar as coordenadas de h → ( t ) , derivar e depois aplicar no ponto, beleza?!

Vamos por partes:

h → t tem coordenadas:

x t = s e n ( t )

y t = c o s ⁡ ( t )

z t = t

Derivando uma a uma, temos:

x ' t = c o s ⁡ ( t )

y ' t = - s e n ( t )

z ' t = 1

Então a nossa derivada ficou assim:

h → ' t = ( c o s t , - s e n t , 1 )

Passo 2

Agora vamos aplicar o ponto P ( 1 , 0 , 2 π ) na derivada e determinar o vetor tangente ao hodógrafo.

Você deve estar se perguntando... se eu tenho 3 coordenadas no ponto P , como vou saber qual o valor de t aplicar na minha derivada?

É bem simples, segue o fio:

Vamos igualar as coordenadas de h → ( t ) às coordenadas do ponto P e resolver o sisteminha:

s e n t = 1 cos ⁡ t = 0 t = π 2

Logo, temos que:

t = π 2

Passo 3

Agora sim! Já sabemos que t = π 2   , agora vamos substituir t na nossa derivada e achar a solução:

h → ' π 2 = cos ⁡ π 2 , - s e n π 2 , 1

h → ' π 2 = ( 0 , - 1 , 1 )

Resposta

h → π 2 = ( 0 , - 1 , 1 )