Determinar o vetor tangente ao hodógrafo no ponto indicado:

g(t) = (t, e^t), P(1, e)

Passo 1

Fala, galeeera!

No cálculo, quando falamos de vetor tangente, nós estamos procurando a derivada!

Sendo assim, primeiro vamos separar as coordenadas de g → ( t ) , derivar e depois aplicar no ponto, beleza?!

Vamos por partes:

g → t tem coordenadas:

x t = t

y t = e t

Derivando uma a uma, temos:

x ' t = 1

y ' t = t e t

Então a nossa derivada ficou assim:

g → ' t = ( 1 , t e t )

Passo 2

Agora vamos aplicar o ponto P ( 1 , e ) na derivada e determinar o vetor tangente ao hodógrafo.

Você deve estar se perguntando... se eu tenho 2 coordenadas no ponto P , como vou saber qual o valor de t aplicar na minha derivada?

É bem simples, segue o fio:

Vamos igualar as coordenadas de g → ( t ) às coordenadas do ponto P e resolver o sisteminha:

t = 1 e t = e

Logo, temos que:

t = 1

Passo 3

Agora sim! Já sabemos que t = 1 , agora vamos substituir t na nossa derivada e achar a solução:

g → ' 1 = ( 1,1 * e 1 )

g → ' 1 = ( 1 , e )

Resposta

g → 1 = ( 1 , e )