Determinar o vetor tangente ao hodógrafo no ponto indicado:

f(t) = (t, t^2, t^3), P(-1,1, -1)

Passo 1

Fala, galeeera!

No cálculo, quando falamos de vetor tangente, nós estamos procurando a derivada!

Sendo assim, primeiro vamos separar as coordenadas de f → ( t ) , derivar e depois aplicar no ponto, beleza?!

Vamos por partes:

f → t tem coordenadas:

x t = t

y t = t ²

z t = t ³

Derivando uma a uma, temos:

x ' t = 1

y ' t = 2 t

z ' t = 3 t ²

Então a nossa derivada ficou assim:

f → ' t = ( 1,2 t , 3 t 2 )

Passo 2

Agora vamos aplicar o ponto P ( - 1,1 , - 1 ) na derivada e determinar o vetor tangente ao hodógrafo.

Você deve estar se perguntando... se eu tenho 3 coordenadas no ponto P , como vou saber qual o valor de t aplicar na minha derivada?

É bem simples, segue o fio:

Vamos igualar as coordenadas de f → ( t ) às coordenadas do ponto P e resolver o sisteminha:

t = - 1 t 2 = 1 t 3 = - 1

Logo, temos que:

t = - 1

Passo 3

Agora sim! Já sabemos que t = - 1 , agora vamos substituir t na nossa derivada e achar a solução:

f → ' - 1 = ( 1,2 * - 1 , 3 * - 1 2 )

f → ' - 1 = ( 1 , - 2,3 )

Resposta

f → - 1 = ( 1 , - 2,3 )