Determinar o vetor tangente ao hodógrafo no ponto indicado:

r(t) = (2t, lna(t), 2), P(2, 0, 2)

Passo 1

Fala, galeeera!

No cálculo, quando falamos de vetor tangente, nós estamos procurando a derivada!

Sendo assim, primeiro vamos separar as coordenadas de r → ( t ) , derivar e depois aplicar no ponto, beleza?!

Vamos por partes:

r → t tem coordenadas:

x t = 2 t

y t = l n ⁡ ( t )

z t = 2

Derivando uma a uma, temos:

x ' t = 2

y ' t = 1 t

z ' t = 0

Então a nossa derivada ficou assim:

r → ' t = 2 , 1 t   , 0

Passo 2

Agora vamos aplicar o ponto P ( 2 , 0 , 2 ) na derivada e determinar o vetor tangente ao hodógrafo.

Você deve estar se perguntando... se eu tenho 3 coordenadas no ponto P , como vou saber qual o valor de t aplicar na minha derivada?

É bem simples, segue o fio:

Vamos igualar as coordenadas de r → ( t ) às coordenadas do ponto P e resolver o sisteminha:

2 t = 2 l n ( t ) = 0 2 = 2

Logo, temos que:

2 t = 2

t = 2 2

t = 1

Passo 3

Agora sim! Já sabemos que t = 1 , agora vamos substituir t na nossa derivada e achar a solução:

r → ' 1 = 2 , 1 1 , 0

r → ' 1 = ( 2,1 , 0 )

Resposta

r → 1 = 2,1 , 0