Determine os autovalores e autofunções do problema abaixo.

y'' + λ^2 y = 0

y(0) = 0, y(L) = 0

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nesta questão ele pede os autovalores e autofunções sabendo que,

y ' ' + λ 2 y = 0

y 0 = 0 ,   y L = 0

Para essa questão devemos utilizar o problema regular de sturm-liouvill que é obtido através da seguinte fórmula

d d x r x y ' + q x + λ P x y = 0

Sendo as condições de contorno,

α 1 y a + β 1 y ' a = 0

α 2 y b + β 2 y ' b = 0

Passo 2

Sabendo que,

y ' ' + λ 2 y = 0

y 0 = 0 ,   y L = 0 temos que,

λ + 1 = 0 → λ = - 1

O que nos diz que que sua equação vai ser imaginária, lembra desta fórmula? Não? então se liga

λ > 0 → c 1 . e a t + c 2 . e b t

λ = 0 → c 1 . e a t + c 2 . t . e a t

λ < 0 → c 1 . e α t . cos ⁡ β t + c 2 e α t . sin ⁡ ( β t )

Sabendo que λ = - 1 devemos usar

c 1 . e α t . cos ⁡ β t + c 2 e α t . sin ⁡ ( β t )

Nesta questão ele pede para determinar em

y 0 = 0   e   y L = 0

c 1 = 0

λ = sin ⁡ n π L

Gostou meus abençoados? espero ter ajudado.

Resposta

λ = sin ⁡ n π L