Determine os autovalores e as autofunções do problema de contorno dado. Ponha a equação de cauchy-euler em forma auto adjunta. Dê uma relação de ortogonalidade.

x^2 * y'' + 2 * x * y' + λ * y = 0

y(1) = 0, y(e^2) = 0

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nesta questão ele pede para determinarmos os autovalores e as autofunções na equação de cauchy-euler em forma auto adjunta, tendo

x 2 y ' ' + 2 x y ' + λ y = 0

y 1 = 0 ,   y e 2 = 0

Lembrando que a equação de cauchy-euler vale

x 2 y ' ' + x y ' - λ 2 y = 0

λ ≠ 0 : y = c 1 x λ + c 2 x λ

λ = 0   : y = c 1 + c 2 ln ⁡ x  

Passo 2

Sabendo que,

x 2 y ' ' + 2 x y ' + λ y = 0

y 1 = 0 ,   y e 2 = 0

Ficando com,

λ = n 2 ,   n = 1,2 , 3 , …

y = sin ⁡ ( n ln ⁡ x )

d d x 2 x y ' + λ 1 y x = 0

∫ 1 e 2 1 y sin ⁡ ( m ln ⁡ x ) sin ⁡ ( n ln ⁡ x )   d x

m = n

Gostou meus abençoados? espero ter ajudado.

Resposta

m = n