Enunciado

Determine se o campo vetorial dado é conservativo.

Passo 1

Falaaaa ai pessoal tudo blz?

Dado que o campo

F x , y , z = 3 x 2 + 2 y z i + 2 x y + 6 y z j + 2 x y + 3 y 2 - 2 z k  

A primeira medida aqui vai ser usar o método para achar a rotacional, que vai ser:

R o t   ∇ F = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z P Q R

P = 3 x 2 + 2 y z                     Q = 2 x y + 6 y z                           R = 2 x y + 3 y 2 - 2 z

Passo 2

Com isso, temos

R o t   ∇ F = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z 3 x 2 + 2 y z                     2 x y + 6 y z 2 x y + 3 y 2 - 2 z i j ∂ ∂ x ∂ ∂ y 3 x 2 + 2 y z 2 x y + 6 y z

2 x + 6 y - 2 x + 6 y i + 2 y - 2 y j + 2 z - 2 z k = 0 i + 0 j + 0 k → c a m p o   c o n s e r v a t i v o

Resposta

0 i + 0 j + 0 k → c a m p o   c o n s e r v a t i v o

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