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Enunciado

Cálculo - Louis Leithold - Vol 2- Ed: 3º - Capítulo 17.6 - Ex. 24

Determine se a equação diferencial é exata. Em caso afirmativo, ache a solução geral.

Passo 1

Falaaaa ai pessoal tudo blz?

Então galera dado que,

2 y   c o t g   x - 3 x 2 d y d x = y 2   c o s e c 2 x + 6 x y - 2  

Então, de cara vamos perceber que devemos arrumar essa função blz? Fazendo isso,

2 y   c o t g   x - 3 x 2 d y = y 2 c o s e c 2   x + 6 x y - 2   d x

2 y   c o t g   x - 3 x 2 d y       - y 2 c o s e c 2 x - 6 x y + 2 d x

Separando a questão por M e N (vale lembrar aqui que c o t g   x = - c o s e c 2 x →   regras trigonométricas)

M x , y =   - y 2 c o s e c 2 x - 6 x y + 2 N x , y =   2 y   c o t g   x - 3 x 2

M y x , y =   - 2 y   c o s e c 2 x - 6 x N x x , y = - 2 y   c o s e c 2 x - 6 x

Passo 2

Igualando M y x , y = N x x , y , temos que ,

- 2 y   c o s e c 2 x - 6 x = - 2 y   c o s e c 2 x - 6 x ,

M y x , y = N x x , y →   a equação é exata

Resposta

a equação é exata