Enunciado

Determine a equação da esfera com centro em 6 , 5 , - 2 e raio 7 . Descreva sua interseção com os planos coordenados.

Passo 1

Uma esfera possui uma equação do tipo

x - k 2 + y - k 2 + z - l 2 = r 2

Em que h , k , l são as coordenadas do centro e r é o seu raio. Portanto, basta substituirmos nessa fórmula que obteremos a equação da nossa esfera!

Para entendermos quais são as interseções dos planos coordenados com a esfera, basta fazermos x = 0 , y = 0 e z = 0 (equações estas dos planos coordenados) na equação da esfera.

Passo 2

Como sabemos que o centro da esfera é C 6 , 5 , - 2 e ela possui raio 7 , vamos substituir estes valores na equação da esfera relembrada no Passo 1. Sendo assim

x - k 2 + y - k 2 + z - l 2 = r 2

x - 6 2 + y - 5 2 + z - - 2 2 = 7 2

x - 6 2 + y - 5 2 + z + 2 2 = 7 2

Esta é a equação da nossa esfera!

Passo 3

A esfera só possui interseção com o plano z = 0 , e o mesmo é uma circunferência dada por:

x - 6 2 + y - 5 2 + 2 2 = 7 2

x - 6 2 + y - 5 2 = 3

Já para os outros dois planos, não há interseção. Ao substituirmos x = 0 ou y = 0 , vamos obter algo do tipo

α 2 + β 2 < 0

Como não existe dois números que, ao serem elevados ao quadrado (se tornam positivo) e somados deem outro número negativo. Logo, não há interseção

Resposta

Equação da esfera:

x - 6 2 + y - 5 2 + z + 2 2 = 7 2

A esfera só intercepta o plano z = 0 ( x y ), e seu resultado é uma circunferência.

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