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Enunciado

Cálculo - Louis Leithold - Vol 2- Ed: 3º - Capítulo 17.6 - Ex. 31

Determine se a expressão é uma diferencial exata. Em caso afirmativo, ach a função cuja diferencial total é igual a expressão dada

Passo 1

Falaaaaa rapaziadaaa tudo blz?

Então nesta questão dado que,

4 x y + 3 y z - 2 d x + 2 x 2 + 3 x z - 5 z 2 d y + 3 x y - 10 y z + 1 d z

O primeiro passo aqui vai ser separar as funções por M , N   e   R

M x , y , z = 4 x y + 3 y z - 2 ,     N x , y , z = 2 x 2 + 3 x z - 5 z 2 ,     R x , y , z = 3 x y - 10 y z + 1

Passo 2

Derivando M y ,   M z ,   N x ,   N z   ,   R x ,   R y

M y x , y , z = 4 x + 3 z N x x , y , z = 4 x + 3 z R x x , y , z = 3 y

M z x , y , z = 3 y N z x , y , z = 3 x - 10 z R y x , y , z = 3 x - 10 z

Logo,

M y x , y , z = N x x , y , z

M z x , y , z = R x x , y , z

N z x , y , z = R y x , y , z

Passo 3

Sendo o vetor gradiente dado ∇ F ( x , y , z )

F x x , y , z = 4 x y + 3 y z - 2

  F y x , y , z = 2 x 2 + 3 x z - 5 z 2

  F z x , y , z = 3 x y - 10 y z + 1

Integrando F x x , y , z por x temos,

∫ 4 x y + 3 y z - 2 y     d x = 2 x 2 y + 3 y z x - 2 y x + g ( y , z )

Onde g ( y , z ) é independente de dx

F y x , y , z = 2 x 2 y + 3 y z x - 2 y x + g ( y , z )

F x , y , z = 2 x 2 + 3 x y z - 5 y z 2 - 2 x + z + C

Resposta

F x , y , z = 2 x 2 + 3 x y z - 5 y z 2 - 2 x + z + C