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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol. 4 - Ed: 5º - Capítulo 10.9 - Ex. 1d

Determine um fator integrante e resolva.

3 y d x - x d y = 0 , x > 0 e y > 0

Passo 1

Bora seguir pra letra (d) !!

Para simplificar vamos chamar:

P (x , y) = 3 y

Q (x , y) = - x

Derivando P em y e Q em x:

P_y = 3

Q_x = - 1

Como as derivada não são iguais esta equação não é exata.

Sendo assim, para resolvê-la nós vamos multiplica-la por uma função mu ( x , y ) para que o produto se torne uma equação exata, ok?

A nossa função mu ( x , y ) é chamada de fator integrante e é determinado pela relação:

mu (x , y) = e^(int (P_y - Q_x)/(Q) . d x)

Substituindo:

mu (x , y) = e^(int (3 + 1)/(- x) . d x) = e^(int (- 4)/(x) . d x)

mu (x , y) = e^(- 4 . ln x) = e^(ln x^(- 4))

mu (x , y) = x^(- 4)

Multiplicando cada termo por x^(- 4) :

3 x^(- 4) y d x - x^(- 3) d y = 0

Passo 2

Agora que temos a nossa equação exata podemos dar continuidade, ok?

(d phi)/(d x) = 3 x^(- 4) y

(d phi)/(d y) = - x^(- 3)

Bom galerinha, vamos começar pela primeira condição:

d phi = (3 x^(- 4) y) . d x

Quando nós integramos:

phi = - y x^(- 3 )

Olhando a segunda:

d phi = (- x^(- 3)) . d y

E integrando:

phi = - y x^(- 3)

Ou melhor:

phi ( x , y ) = - (y)/(x^3)

Portanto nós concluímos que a equação 3 x^(- 4) y d x - x^(- 3) d y = 0 é exata e suas condições são dadas implicitamente por - (y)/(x^3) = k , em que k é uma constante.

De boa, não é?

Resposta

phi ( x , y ) = - (y)/(x^3)

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