Determine uma função f cujo gráfico passe pelo ponto (1, 1) e tal que, para todo p no seu domínio, a área do triângulo de vértices (p, 0), (p, f(p)) e M seja 1 , onde M é a interseção da reta tangente em (p, f(p)) com o eixo x .

Passo 1

Começaremos esse problema tomando y = f ( x ) , que é a função desejada.

Pela condição apresentada f 1 = 1 , temos uma suposição que y > 0 em um intervalo I aberto, com 1 em I .

Supondo uma função decrescente.

A equação da reta tangente no ponto p ,   f p é:

y - f p = f ' ( p ) ( x - p )

Essa reta que encontra o eixo x em:

M = p - f p f ' p

Passo 2

Tomando a área do triângulo de vértices p ,   0 ,   p ,   f p e M igual a 1 :

1 2 M - p f p = 1

M - p f p = 2

Substituindo M :

p - f p f ' p - p f p = 2

- f p 2 = 2 f ' p

Desse modo, temos:

- y 2 = 2 d y d x

Passo 3

Separando as variáveis:

- d y y 2 = d x 2

- ∫ d y y 2 = ∫ d x 2

Integrando:

1 y = 1 2 ( x + k )

Passo 4

Voltando a condição f 1 = 1 :

1 1 = 1 2 ( 1 + k )

2 = 1 + k

k = 1

Desse modo:

1 y = 1 2 ( x + 1 )

y = 2 x + 1

Passo 5

Para uma função crescente:

y 2 = 2 d y d x

- 1 y = 1 2 ( x + k )

Aplicando a condição f 1 = 1 :

- 1 = 1 2 1 + k

- 2 = 1 + k

k = - 3

Então:

y = 1 3 - x

Resposta

y = 2 x + 1

y = 1 3 - x

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