Enunciado

Determine se as funções dadas são linearmente dependentes ou linearmente independentes. Se forem linearmente dependentes, encontre uma relação linear entre elas.

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Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos a linearidade da nossa equação. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser testar a combinação linear:

C 1 f 1 + C 2 f 2 + C 3 f 3 + C 4 f 4 = C 1 2 t - 3 + C 2 t 3 + 1 + C 3 2 t 2 - t + C 4 ( t 2 + t + 1 )

C 1 2 t - 3 + C 2 t 3 + 1 + C 3 2 t 2 - t + C 4 ( t 2 + t + 1 ) = 0

- 3 C 1 + C 2 + C 4 + 2 C 1 - C 3 + C 4 t + 2 C 3 + C 4 t 2 + C 2 t ³ = 0 + 0 t + 0 t 2 + 0 t ³

Passo 3

Pronto!! Agora é só substituir os valores e achar a solução!!

- 3 C 1 + C 2 + C 4 = 0

2 C 1 - C 3 + C 4 = 0

2 C 3 + C 4 = 0

C 2 = 0

Para satisfazer ao sistema de equações, só podemos ter a solução trivial (aquela toda igual a zero). Por isso, podemos dizer que elas são linearmente independentes

Resposta

São linearmente independentes

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Em cada um dos problemas de 1 a 12, determine a solução geral da equação diferencial dada, válida em qualquer intervalo que não inclui o ponto singular7. x 2 y ″ + 6 x y ' - y=0
Em cada um dos problemas de 1 a 12, determine a solução geral da equação diferencial dada, válida em qualquer intervalo que não inclui o ponto singular3. x 2 y ″-3 x y '+4 y=0
Em cada um dos problemas de 1 a 12, determine a solução geral da equação diferencial dada, válida em qualquer intervalo que não inclui o ponto singular4. x 2 y ″ +3 x y '+5 y=0
Em cada um dos problemas de 1 a 12, determine a solução geral da equação diferencial dada, válida em qualquer intervalo que não inclui o ponto singular8. 2 x 2 y ″ - 4 x y ' + 6 y=0
Em cada um dos problemas de 1 a 12, determine a solução geral da equação diferencial dada, válida em qualquer intervalo que não inclui o ponto singular2. ( x + 1 ) 2 y ″ + 3 ( x + 1 ) y ' + 0,75 y=0