determine a integral indefinida (Sugestão: a integração por partes não é necessária para todas as integrais).

∫ t ln ⁡ t + 1   d t

Passo 1

E aí meus lindos tudo beleza? Eu espero que sim, então nesta questão ele pede para determinar a integral indefinida dado,

∫ t ln ⁡ t + 1   d t

Precisa ficar com essa carinha não meus lindos que nessa questão só basta traçarmos o gráfico você vai ver como ela é de boa.

Passo 2

Sabendo que,

∫ t ln ⁡ t + 1   d t

Temos que nos lembrar que para resolve-la devemos usar a integral por parte que fica,

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u  

A partir daí temos que escolher quem vai ser meu u e meu v na integral e para isso devemos nos lembrar do macete de LIATE,

Logaritmo

Inversa

Algébrica

Trigonométrica

Exponencial

A partir dessa ordem que escolhemos,

u = ln ⁡ ( t + 1 ) d v = t   d t

d u = 1 t + 1 d t v = t 2 2

Ficando,

1 2 t 2 ln ⁡ t + 1 - 1 2 ln ⁡ t + 1 - t 2 4 + t 2 + C

Curtiu a resolução?

Sim, então vamos que vamos para a próxima.

Resposta

1 2 t 2 ln ⁡ t + 1 - 1 2 ln ⁡ t + 1 - t 2 4 + t 2 + C