Enunciado

Determine o intervalo de convergência da série de potência dada:

∑ n = 0 + ∞ x n n + 1

Passo 1

Falaaaa galera!!! Tudo bem com vocês?

Pessoal nessa questão devemos determinar o intervalo de convergência da série, admitindo que ela é convergente, então ao utilizar o teorema do l i m n → ∞ u n + 1 u n = L , onde L   <   1 , será possível determinar o intervalo expandindo para x 1 < x < x 2 ,   ou x 1 , x 2 ;

então bora lá:

Passo 2

Assim vamos determinar cada termo do limite atribuindo na série que nos foi dada:

u n = x n n + 1 e u n + 1 = x n + 1 n + 1 + 1

Substituindo os termos encontrados no limite.

l i m n → ∞ x n + 1 n + 1 + 1 x n n + 1 = l i m n → ∞ x n + 1 n + 1 + 1 ⋅ n + 1 x n =

= l i m n → ∞ x n ⋅ x 1 n + 2 ⋅ n + 1 x n l i m n → ∞ n + 1 n + 2 ⋅ x

= l i m n → ∞ n + 1 n + 2 x = l i m n → ∞ 1 + 1 n 1 + 2 n x = x

Passo 3

Agora galera devemos analisar os valores que podemos encontrar no intervalo.

Assim a série dada será absolutamente convergente se x < 1 ou equivalentemente no intervalo - 1 < x < 1 , entretanto para nossa análise se x   =   1 dizemos que ∑ n = 0 + ∞ 1 n + 1 é uma série harmônica divergente. Se x = - 1   dizemos que ∑ n = 0 + ∞ - 1 n n + 1 converge para o teste de série alternada.

Portanto o intervalo de convergência dada é [ - 1,1 )

Deu compreender pessoal?Nos vemos na próxima!!! Valeu!!

Resposta

O intervalo de convergência dada é [ - 1,1 )

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