Enunciado

Determine o intervalo de convergência da série de potência dada:

∑ n = 0 + ∞ x n n ² + 1

Passo 1

Falaaaa galera!!! Tudo bem com vocês?

Pessoal nessa questão devemos determinar o intervalo de convergência da série, admitindo que ela é convergente, então ao utilizar o teorema do l i m n → ∞ u n + 1 u n = L , onde L   <   1 , será possível determinar o intervalo expandindo para x 1 < x < x 2 ,   ou x 1 , x 2 ;

então bora lá:

Primeiro vamos determinar cada termo desse limite atribuindo na série que nos foi dada:

u n = x n n ² + 1

u n + 1 = x n + 1 n + 1 ² + 1

Substituindo os termos encontrados no limite.

l i m n → ∞ x n + 1 n + 1 ² + 1 x n n ² + 1 = l i m n → ∞ x n + 1 n + 1 ² + 1 ⋅ n ² + 1 x n =

= l i m n → ∞ x n ⋅ x 1 n ² + 2 ⋅ n + 1 x n l i m n → ∞ n ² + 1 n ² + 2 ⋅ x

= l i m n → ∞ n ² + 1 n ² + 2 x = l i m n → ∞ 1 + 1 n ² 1 + 2 n ² x = x

Passo 2

Agora galera devemos analisar os valores que podemos encontrar no intervalo.

Assim a série dada será absolutamente convergente se x < 1 ou equivalentemente no intervalo - 1 < x < 1 , entretanto se x = ± 1   dizemos que ∑ n = 0 + ∞ ± 1 n n 2 + 1 converge absolutamente por uma comparação de limite com uma série p =   2

Portanto o intervalo de convergência dada é [ - 1,1 ]

Pessoal, espero que tenha dado para compreender.

Espero vocês na próxima questão!!! Valeu!!

Resposta

O intervalo de convergência dada é [ - 1,1 ]

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