Determine o intervalo de convergência da série de potência dada:

∑ n = 0 + ∞ x n n 2 - 3

Passo 1

Falaaaa galera!!! Tudo bem com vocês?

Pessoal nessa questão devemos determinar o intervalo de convergência da série, admitindo que ela é convergente, então ao utilizar o teorema do l i m n → ∞ u n + 1 u n = L , onde L   <   1 , será possível determinar o intervalo expandindo para x 1 < x < x 2 ,   ou x 1 , x 2 ; então bora lá:

Primeiro vamos determinar cada termo desse limite atribuindo na série que nos foi dada:

u n = x n n 2 - 3

u n + 1 = x n + 1 n + 1 2 - 3

Substituindo os termos encontrados no limite.

l i m n → ∞ x n + 1 n + 1 2 - 3 x n n 2 - 3 = l i m n → ∞ x n + 1 n + 1 2 - 3 ⋅ n 2 - 3 x n =

= l i m n → ∞ x n ⋅ x 1 n + 1 2 - 3 ⋅ n - 3 x n = l i m n → ∞ n 2 - 3 n + 1 2 - 3 ⋅ x

= l i m n → ∞ n 2 - 3 n + 1 2 - 3 x = l i m n → ∞ 1 - 3 n ² 1 + 1 n 2 2 - 3 n 2 x = x

Passo 2

Agora galera devemos analisar os valores que podemos encontrar no intervalo.

Então galera, a série dada será absolutamente convergente se x < 1 ou equivalentemente no intervalo - 1 < x < 1 . Se x = ± 1   dizemos que ∑ n = 0 + ∞ ± 1 n n 2 - 3 converge absolutamente por uma comparação de limite com uma série ( p =   2 ) :

l i m n → ∞ 1 n 2 - 3 1 n 2 = l i m n → ∞ n 2 n 2 - 3 = l i m n → ∞ 1 1 - 3 n 2 = 1

Portanto o intervalo de convergência da série dada é [ - 1,1 ]

Deu compreender!!!!então vamos pra próxima!!!

Resposta

O intervalo de convergência da série dada é [ - 1,1 ]