Enunciado

Determine o intervalo de convergência da série de potência dada:

∑ n = 0 + ∞ n ² x n 2 n

Passo 1

Falaaaa galera!!! Tudo bem com vocês?

Pessoal nessa questão devemos determinar o intervalo de convergência da série, admitindo que ela é convergente, então ao utilizar o teorema do l i m n → ∞ u n + 1 u n = L , onde L   <   1 , será possível determinar o intervalo expandindo para x 1 < x < x 2 ,   ou x 1 , x 2 ;

então bora lá:

Primeiro vamos determinar cada termo desse limite atribuindo na série que nos foi dada:

u n = n ² x n 2 n

u n + 1 = ( n + 1 ) ² x n + 1 2 n + 1

Substituindo os termos encontrados no limite.

l i m n → ∞ ( n + 1 ) ² x n + 1 2 n + 1   n ² x n 2 n = l i m n → ∞   n + 1 2 x n + 1 2 n + 1 ⋅ 2 n n 2 x n =

= l i m n → ∞ n + 1 2   x n ⋅ x 1 2 1 ∙ 2 n ⋅ 2 n n ² x n = l i m n → ∞ n + 1 2   ⋅ x 1 2 1 ⋅ 1 n ²

= l i m n → ∞ n + 1 2 2 1 n ² x = l i m n → ∞ 1 + 1 n 2 2 2 x 2 = x 2

Passo 2

Agora galera devemos analisar os valores que podemos encontrar no intervalo.

Assim a série dada será absolutamente convergente se x 2 < 1 ou equivalentemente no intervalo - 2 < x < 2 . Se x = ± 2   a série de potência dada então podemos afirmar que ∑ n = 0 + ∞ n ² ± 2 n 2 n = ∑ n = 0 + ∞ ± 1 n n 2 que é divergente por que l i m n → ∞ ± 1 n n 2 ≠ 0   . Portanto, o intervalo aberto de convergência da série dada é ( - 2 ,   2 ) .

Espero que tenham compreendido!!!!Até a próxima pessoal ☺

Resposta

O intervalo aberto de convergência da série dada ( - 2 ,   2 ) .

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