Enunciado

Determine o intervalo de convergência da série de potência dada:

∑ n = 1 + ∞ 2 n x n n 2

Passo 1

Falaaaa galera!!! Tudo bem com vocês?

Pessoal nessa questão devemos determinar o intervalo de convergência da série, admitindo que ela é convergente, então ao utilizar o teorema do l i m n → ∞ u n + 1 u n = L , onde L   <   1 , será possível determinar o intervalo expandindo para x 1 < x < x 2 ,   ou x 1 , x 2 ;

então bora lá:

Primeiro vamos determinar cada termo desse limite atribuindo na série que nos foi dada:

u n = 2 n x n n 2

u n + 1 = 2 n + 1 x n + 1 ( n + 1 ) ²

Substituindo os termos encontrados no limite.

l i m n → ∞ 2 n + 1 x n + 1 ( n + 1 ) ²   2 n x n n 2 = l i m n → ∞   2 n + 1 x n + 1 ( n + 1 ) ² ⋅ n 2 2 n x n =

= l i m n → ∞   2 n ∙ 2 1 ∙ x n ∙ x 1 ( n + 1 ) ² ⋅ n 2 2 n x n = l i m n → ∞ 2 1 ∙ x ( n + 1 ) ² ⋅ n 2 1

= l i m n → ∞ 2 1 ∙ n ² n 2 + 2 n + 1 x = l i m n → ∞ 2 1 + 2 n + 1 n 2 x = 2 x

Passo 2

Agora galera devemos analisar os valores que podemos encontrar no intervalo.

Assim a série dada será absolutamente convergente se 2 x < 1 ou equivalentemente no intervalo - 1 2 < x < 1 2 . Se x = ± 1 2   a série de potência dada então podemos afirmar que ∑ η = 1 + ∞ u n = ∑ n = 1 + ∞ 2 n ± 1 2 n n 2 = ∑ n = 1 + ∞ 1 n 2 . É uma série convergente p = 2 . Portanto, o intervalo de convergência da série dada é - 1 2 ,   1 2 .

Espero que tenham compreendido!!!!Até a próxima pessoal ☺

Resposta

O intervalo de convergência da série dada é - 1 2 ,   1 2 .

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