Enunciado

Determine o intervalo de convergência da série de potência dada:

∑ n = 1 + ∞ x n 2 n ⋅ n

Passo 1

Falaaaa galera!!! Tudo bem com vocês?

Pessoal nessa questão devemos determinar o intervalo de convergência da série, admitindo que ela é convergente, então ao utilizar o teorema do l i m n → ∞ u n + 1 u n = L , onde L   <   1 , será possível determinar o intervalo expandindo para x 1 < x < x 2 ,   ou x 1 , x 2 ;

então bora lá:

Primeiro vamos determinar cada termo desse limite atribuindo na série que nos foi dada:

u n = x n 2 n ⋅ n

u n + 1 = x n + 1 2 n + 1 ⋅ n + 1

Substituindo os termos encontrados no limite.

l i m n → ∞ x n + 1 2 n + 1 ⋅ n + 1 x n 2 n ⋅ n   = l i m n → ∞   x n + 1 2 n + 1 ⋅ n + 1 ⋅ 2 n ⋅ n x n =

= l i m n → ∞   x n ∙ x 1 2 n ∙ 2 1 ⋅ n + 1 ⋅ 2 n ∙ n x n = l i m n → ∞ x 2 ∙ n + 1 ⋅ n 1

= l i m n → ∞ 1 2 ⋅ 1 + 1 n ⋅ 1 x = l i m n → ∞ 1 2 x = 1 2 x

Passo 2

Agora galera devemos analisar os valores que podemos encontrar no intervalo.

Assim a série dada será absolutamente convergente se 1 2 x < 1 ou equivalentemente no intervalo - 2 < x < 2 .Se x = - 2   a série ∑ n = 1 + ∞ - 2 n 2 n n = ∑ n = 1 + ∞ - 1 n n que converge pelo teste de série alternada. Se x =   2 , as séries é ∑ n = 1 + ∞ 1 n   uma serie convergente p   =   1 2 . Portanto, o intervalo é dado por [ - 2 ,   2 ) .

Espero que tenham compreendido!!!!Até a próxima pessoal ☺

Resposta

O intervalo é dado por [ - 2 ,   2 ) .

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