Responde Aí

Enunciado

Determine o intervalo de convergência da série de potência dada:

∑ n = 0 + ∞ n x n 3 n

Passo 1

Falaaaa galera!!! Tudo bem com vocês?

Pessoal nessa questão devemos determinar o intervalo de convergência da série, admitindo que ela é convergente, então ao utilizar o teorema do l i m n → ∞ u n + 1 u n = L , onde L   <   1 , será possível determinar o intervalo expandindo para x 1 < x < x 2 ,   ou x 1 , x 2 ;

então bora lá:

Primeiro vamos determinar cada termo desse limite atribuindo na série que nos foi dada:

u n = n x n 3 n

u n + 1 = ( n + 1 ) ∙ x n + 1 3 n + 1

Substituindo os termos encontrados no limite.

l i m n → ∞ ( n + 1 ) ∙ x n + 1 3 n + 1   n x n 3 n = l i m n → ∞   ( n + 1 ) ∙ x n + 1 3 n + 1 ⋅ 3 n n ∙ x n =

= l i m n → ∞ n + 1   x n ⋅ x 1 3 1 ∙ 3 n ⋅ 3 n n x n = l i m n → ∞ n + 1   ⋅ x 1 3 1 ⋅ 1 n

= l i m n → ∞ n + 1 3 n x = l i m n → ∞ 1 + 1 n 3 x 3 = 1 3 x

Passo 2

Agora galera devemos analisar os valores que podemos encontrar no intervalo.

Assim a série dada será absolutamente convergente se 1 3 x < 1 ou equivalentemente no intervalo - 3 < x < 3 . Se x = ± 3   a série de potência dada então podemos afirmar que ∑ n = 1 + ∞ n ± 3 n 3 n = ∑ n = 1 + ∞ ± 1 n n , com isso podemos perceber que ambas as séries divergem por que os termos não se aproximam de zero. Portanto, o intervalo aberto de convergência da série dada é ( - 3 ,   3 ) .

Espero que tenham compreendido!!!!Até a próxima pessoal ☺

Resposta

o intervalo aberto de convergência da série dada é ( - 3 ,   3 ) .