Enunciado

Determine o intervalo de convergência da série de potência dada:

∑ n = 1 + ∞ - 1 n x 2 n 2 n !

Passo 1

Falaaaa galera!!! Tudo bem com vocês?

Pessoal nessa questão devemos determinar o intervalo de convergência da série, admitindo que ela é convergente, então ao utilizar o teorema do l i m n → ∞ u n + 1 u n = L , onde L   <   1 , será possível determinar o intervalo expandindo para x 1 < x < x 2 ,   ou x 1 , x 2 ;

então bora lá:

Passo 2

Primeiro vamos determinar cada termo desse limite atribuindo na série que nos foi dada:

u n = - 1 n x 2 n 2 n !

u n + 1 = - 1 n + 1 x 2 ( n + 1 ) 2 ( n + 1 ) !

Substituindo os termos encontrados no limite.

l i m n → ∞ - 1 n + 1 x 2 ( n + 1 ) 2 ( n + 1 ) !   - 1 n x 2 n 2 n ! = l i m n → ∞   - 1 n + 1 x 2 ( n + 1 ) ( 2 n + 2 ) ! ⋅ 2 n ! x 2 n - 1 n =

= l i m n → ∞ - 1 n ∙ - 1 1 ∙ x 2 n ⋅ x 2 2 n + 2 ! ⋅ 2 n ! x 2 n - 1 n

= l i m n → ∞ - 1 1 ∙ x 2 ( 2 n + 2 ) ! ⋅ 2 n ! 1

= l i m n → ∞ 2 n 1 2 n + 2 2 n + 1 2 n ! x 2 = l i m n → ∞ 1 2 n + 2 2 n + 1 x 2 = 0

Passo 3

Agora galera devemos analisar os valores que podemos encontrar no intervalo.

Então galera, o limite é 0 (zero)para todos os valores de x , pelo teste podemos concluir que a série é absolutamente para todos os valores de x , assim o intervalo é convergente é - ∞ , + ∞

Espero que tenham compreendido!!!!

Até a próxima pessoal ☺

Resposta

O intervalo de convergência dada é - ∞ , + ∞

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