Enunciado

Determine o intervalo de convergência da série de potência dada:

∑ n = 0 + ∞ - 1 n + 1 x 2 n - 1 2 n - 1 !

Passo 1

Falaaaa galera!!! Tudo bem com vocês?

Pessoal nessa questão deveremos determinar o intervalo de convergência da série, admitindo que ela é convergente, então ao utilizar l i m n → ∞ u n + 1 u n = L , onde L   <   1 , será possível determinar o intervalo de convergência da série x 1 < x < x 2 ,   ou x 1 , x 2 , então bora lá:

Primeiro vamos determinar cada termo desse limite atribuindo na série que nos foi dada:

u n = - 1 n + 1 x 2 n - 1 2 n - 1 !

u n + 1 = - 1 n + 1 + 1 x 2 ( n + 1 ) - 1 2 ( n + 1 ) - 1 ! = - 1 n + 2 x 2 n + 1 2 n + 1 !

Substituindo os termos encontrados no limite.

l i m n → ∞ - 1 n + 2 x 2 n + 1 2 n + 1 !   - 1 n + 1 x 2 n - 1 2 n - 1 ! = l i m n → ∞   - 1 n + 2 x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! ⋅ 2 n - 1 ! x 2 n - 1 - 1 n + 1 =

= l i m n → ∞ - 1 n ∙ - 1 2 ∙ x 2 n ⋅ x 1 2 n + 1 ! ⋅ 2 n - 1 ! x 2 n ∙ x - 1 - 1 n ∙ - 1 1

= l i m n → ∞ - 1 1 ∙ x 2 2 n + 1 ! ⋅ 2 n - 1 ! 1

= l i m n → ∞ 2 n - 1 ! 2 n + 1 ! x 2 = l i m n → ∞ 1 2 n 2 n + 1 x 2 = 0

Passo 2

Agora galera devemos analisar os valores que podemos encontrar no intervalo.

Então galera, o limite é 0 (zero)para todos os valores de x , pelo teste podemos concluir que a série é absolutamente concluído para todos os valores de x , assim o intervalo é convergente é - ∞ , + ∞

Espero que tenham compreendido!!!!Até a próxima pessoal ☺

Resposta

O intervalo de convergência dada é - ∞ , + ∞

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