Enunciado

Determine o intervalo de convergência da série de potência dada:

∑ n = 1 + ∞ n + 1 n 2 n ⋅ x n

Passo 1

Falaaaa galera!!! Tudo bem com vocês?

Pessoal nessa questão deveremos determinar o intervalo de convergência da série, admitindo que ela é convergente, então ao utilizar l i m n → ∞ u n + 1 u n = L , onde L   <   1 , será possível determinar o intervalo de convergência da série x 1 < x < x 2 ,   ou x 1 , x 2 , então bora lá:

Primeiro vamos determinar cada termo desse limite atribuindo na série que nos foi dada:

u n = n + 1 n 2 n ⋅ x n

u n + 1 = n + 1 + 1 n + 1 2 n + 1 ⋅ x n + 1 = n + 2 n + 1 2 n + 2 ⋅ x n + 1  

Substituindo os termos encontrados no limite.

l i m n → ∞ n + 2 n + 1 2 n + 2 ⋅ x n + 1 n + 1 n 2 n ⋅ x n   = l i m n → ∞   n + 2 n + 1 2 n + 2 ⋅ x n + 1 ⋅ n 2 n n + 1 ⋅ x n =

= l i m n → ∞ n + 2 n + 1 2 n + 2 ∙ x n ⋅ x 1 1 ⋅ n 2 n n + 1 ⋅ x n

= l i m n → ∞ n + 2 n + 1 2 n n + 1 2 ∙ x 1 1 ⋅ n 2 n n + 1

= l i m n → ∞ n + 2 n + 1 3 ⋅ n 2 n n + 1 2 n x

= l i m n → ∞ n + 2 n + 1 ⋅ n n + 1 2 n ⋅ 1 n + 1 ² x = + ∞

Passo 2

Agora galera devemos analisar os valores que podemos encontrar no intervalo.

Então galera, o limite é + ∞ (zero)para todos os valores de x , pelo teste podemos concluir que a série é absolutamente para todos os valores de x , assim o intervalo de convergência é - ∞ , + ∞

Espero que tenham compreendido pessoal!!!!Até a próxima pessoal ☺

Resposta

O intervalo de convergência dada é - ∞ , + ∞

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