Enunciado

Determine o intervalo de convergência da série de potência dada:

∑ n = 0 + ∞ - 1 n x n 2 n - 1 ∙ 3 2 n - 1

Passo 1

Falaaaa galera!!! Tudo bem com vocês?

Pessoal nessa questão deveremos determinar o intervalo de convergência da série, admitindo que ela é convergente, então ao utilizar l i m n → ∞ u n + 1 u n = L , onde L   <   1 , será possível determinar o intervalo de convergência da série x 1 < x < x 2 ,   ou x 1 , x 2 , então bora lá:

Passo 2

Assim vamos determinar cada termo do limite atribuindo na série que nos foi dada:

u n = - 1 n x n 2 n - 1 ∙ 3 2 n - 1

u n + 1 = - 1 n + 1 x n + 1 2 ( n + 1 ) - 1 ∙ 3 2 ( n + 1 ) - 1 = - 1 n + 1 ⋅ x n + 1 2 n + 1 ⋅ 3 2 n + 1

Substituindo os termos encontrados no limite.

l i m n → ∞ - 1 n + 1 ⋅ x n + 1 2 n + 1 ⋅ 3 2 n + 1   - 1 n x n 2 n - 1 ∙ 3 2 n - 1 = l i m n → ∞   - 1 n + 1 ⋅ x n + 1 2 n + 1 ⋅ 3 2 n + 1 ⋅ 2 n - 1 ∙ 3 2 n - 1 x n ∙ - 1 n

= l i m n → ∞ - 1 n ∙ - 1 1 ∙ x n ⋅ x 1 2 n + 1 ∙ 3 2 n ∙ 3 1 ⋅ 2 n - 1 ∙ 3 2 n ∙ 3 - 1 x n ∙ - 1 n

= l i m n → ∞ - 1 1 ∙ x 1 2 n + 1 ∙ 3 1 ⋅ 2 n - 1 ∙ 3 - 1 1

= l i m n → ∞ 2 n - 1 2 n + 1 ∙ 1 9 1 9 x = 1 9 x

Passo 3

Então galera a série dada será absolutamente convergente se 1 9 x < 1 , ou equivalente a - 9 < x < 9 . Agora ao analisar os pontos finais de x , podemos obter;

Quando x = - 9 :

∑ n = 0 + ∞ - 1 n - 1 n ⋅ 3 2 n 2 n - 1 ⋅ 3 2 n - 1 = ∑ n = 0 + ∞ 3 2 n - 1

Que é divergentes por comparação com séries harmônicas: 3 2 n - 1 > 3 2 ; 1 n

Quando x = 5 a séries de potência dada torna-se;

∑ n = 0 + ∞ - 1 n ⋅ 3 2 n 2 n - 1 2 n - 1 = ∑ n = 0 + ∞ - 1 n ⋅ 3 2 n - 1

Que é convergente por teste de séries alternadas séries harmônicas. Portanto, o intervalo de convergência da série dada é ( - 9 ,   9 ]

Espero que tenham compreendido pessoal!!!!Até a próxima pessoal ☺

Resposta

o intervalo de convergência da série dada é ( - 9 ,   9 ]

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