Determine o intervalo de convergência da série de potência dada:

∑ n = 1 + ∞ - 1 n + 1 ⋅ x - 1 n n

Passo 1

Falaaaa galera!!! Tudo bem com vocês?

Pessoal nessa questão deveremos determinar o intervalo de convergência da série, admitindo que ela é convergente, então ao utilizar l i m n → ∞ u n + 1 u n = L , onde L   <   1 , será possível determinar o intervalo de convergência da série x 1 < x < x 2 ,   ou x 1 , x 2 , então bora lá:

Passo 2

Assim vamos determinar cada termo do limite atribuindo na série que nos foi dada:

u n = - 1 n + 1 x - 1 n n

u n + 1 = - 1 n + 1 + 1 x + 1 n + 1 ( n + 1 ) = - 1 n + 2 ⋅ x + 1 n + 1 ( n + 1 )

Substituindo os termos encontrados no limite.

l i m n → ∞ - 1 n + 2 ⋅ x + 1 n + 1 ( n + 1 )   - 1 n + 1 x - 1 n n = l i m n → ∞ - 1 n + 2 ⋅ x + 1 n + 1 ( n + 1 ) ⋅ n - 1 n + 1 x - 1 n

= l i m n → ∞ - 1 1 ⋅ x - 1 1 ( n + 1 ) ⋅ n 1

= l i m n → ∞ n n + 1 x - 1

= l i m n → ∞ n n + 1 x - 1 = x - 1

Passo 3

Agora galera devemos analisar os valores que podemos encontrar no intervalo.

Então podemos admitir que a série dada será absolutamente convergente quando x - 1 < 1 .

Desenvolvendo, - 1 < x - 1 < 1 → 0 < x < 2

Se x = 0 : ∑ n = 1 + ∞ - 1 n + 1 ⋅ - 1 n n = ∑ n = 1 + ∞ - 1 n é uma série harmônica divergente.

Se x = 2 : ∑ n = 1 + ∞ - 1 n + 1 ⋅ 1 n , é uma serie convergente.

Portanto, o intervalo aberto de convergência da série dada é (0 ,   - 2 ] .

Pronto!!Nos vemos na próxima galera

Resposta

o intervalo de convergência da série dada é (0 ,   - 2 ] .