Enunciado

Determine o intervalo de convergência da série de potência dada:

∑ n = 1 + ∞ x + 5 n - 1 n 2

Passo 1

Olha nós aqui de novo galera!!! Tudo bem com vocês?

Pessoal nessa questão devemos determinar o intervalo de convergência da série, admitindo que ela é convergente, então ao utilizar l i m n → ∞ u n + 1 u n = L , onde L   <   1 , será possível determinar o intervalo de convergência da série x 1 < x < x 2 ,   e de forma equivalente podemos analisar se o intervalo é aberto ou fechado para cada extremidade e utilizar x 1 , x 2 .

Vamos lá pra questão:

Passo 2

Vamos determinar cada termo do limite atribuindo na série que nos foi dada:

u n = x + 5 n - 1 n 2

u n + 1 = x + 5 ( n + 1 ) - 1 ( n + 1 ) 2 = x + 5 n ( n + 1 ) 2 =

Substituindo os termos encontrados no limite.

l i m n → ∞ x + 5 n ( n + 1 ) 2   x + 5 n - 1 n 2 = l i m n → ∞ x + 5 n ( n + 1 ) 2 ∙ n ²   x + 5 n - 1

= l i m n → ∞ x + 5 n   x + 5 n - 1 ∙ n ²   n + 1 ²

= l i m n → ∞ 1   x + 5 - 1 ∙ 1   1 + 1 n ²

= l i m n → ∞ x + 5 ∙ 1   1 + 1 n ² = x + 5

Passo 3

Agora galera devemos analisar os valores que podemos encontrar no intervalo.

Assim a série dada será absolutamente convergente x + 5 < 1 .

Desenvolvendo, x + 5 < 1 → - 6 < x < - 4

Se x + 5 = 1 : t e m o s

∑ n = 1 + ∞ u n = ∑ n = 1 + ∞ 1 n 2

é uma serie convergente com p-series p=2

Portanto, o intervalo aberto de convergência da série dada é [ - 6 , - 4 ]

E aí, acertaram a resposta? espero que sim em!!!!Nos vemos na próxima pessoal ☺

Resposta

o intervalo de convergência da série dada é [ - 6 , - 4 ]

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