Enunciado

Determine o intervalo de convergência da série de potência dada:

∑ n = 1 + ∞ n 2 5 n x - 1 n

Passo 1

Olha nós aqui de novo galera!!! Tudo bem com vocês?

Pessoal nessa questão devemos determinar o intervalo de convergência da série, admitindo que ela é convergente, então ao utilizar l i m n → ∞ u n + 1 u n = L , onde L   <   1 , será possível determinar o intervalo de convergência da série x 1 < x < x 2 ,   e de forma equivalente podemos analisar se o intervalo é aberto ou fechado para cada extremidade e utilizar x 1 , x 2 .

Vamos lá pra questão:

Passo 2

Vamos determinar cada termo do limite atribuindo na série que nos foi dada:

u n = n 2 5 n x - 1 n

u n + 1 = ( n + 1 ) 2 5 n + 1 x - 1 n + 1

Substituindo os termos encontrados no limite.

l i m n → ∞ ( n + 1 ) 2 5 n + 1 x - 1 n + 1   n 2 5 n x - 1 n = l i m n → ∞ ( n + 1 ) 2 5 n + 1 x - 1 n + 1 ∙ 5 n   n 2 ∙ x - 1 n

= l i m n → ∞ ( n + 1 ) 2 n 2 ∙ 5 n 5 n + 1 ∙ x - 1 n + 1 x - 1 n

= l i m n → ∞ 1 + 1 n 2 1 ∙ 1 5 ∙ x - 1 1

= 1 5 ∙ l i m n → ∞ x - 1 = 1 5 x - 1

Passo 3

Agora galera devemos analisar os valores que podemos encontrar no intervalo.

Assim a série dada será absolutamente convergente 1 5 x - 1 < 1 .

Desenvolvendo, x - 1 < 5 → - 4 < x < 6

Se x - 1 < 5 : t e m o s

∑ n = 1 + ∞ u n = ∑ n = 1 + ∞ n 2 5 n ± 5 n = ∑ n = 1 + ∞ ± 1 n n 2

é uma serie divergente por que o l i m n → ∞ n 2 = + ∞

Portanto, o intervalo aberto de convergência da série dada é ( - 4 ,   6 )

E aí, acertaram a resposta? espero que sim em!!!!Nos vemos na próxima pessoal ☺

Resposta

o intervalo de convergência da série dada é ( - 4 ,   6 )

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