Responde Aí

Enunciado

Determine o intervalo de convergência da série de potência dada:

∑ n = 0 + ∞ 4 n + 1 x 2 n n + 3

Passo 1

Olha nós aqui de novo galera!!! Tudo bem com vocês?

Pessoal nessa questão devemos determinar o intervalo de convergência da série, admitindo que ela é convergente, então ao utilizar l i m n → ∞ u n + 1 u n = L , onde L   <   1 , será possível determinar o intervalo de convergência da série x 1 < x < x 2 ,   e de forma equivalente podemos analisar se o intervalo é aberto ou fechado para cada extremidade e utilizar x 1 , x 2 .

Vamos lá pra questão:

Passo 2

Vamos determinar cada termo do limite atribuindo na série que nos foi dada:

u n = 4 n + 1 x 2 n n + 3

u n + 1 = 4 n + 1 + 1 x 2 n + 1 n + 1 + 3 = 4 n + 2 x 2 n + 2 n + 4

Substituindo os termos encontrados no limite.

l i m n → ∞ 4 n + 2 x 2 n + 2 n + 4   4 n + 1 x 2 n n + 3 = l i m n → ∞ 4 n + 2 x 2 n + 2 n + 4 ∙ n + 3 4 n + 1 x 2 n

= l i m n → ∞ n + 3   n + 4 ∙ x 2 n + 2 x 2 n ∙ 4 n + 2 4 n + 1

= l i m n → ∞ n + 3   n + 4 ∙ x 2 1 ∙ 4 1 = l i m n → ∞ 1 + 3 n   n + 4 n ∙ 4 x ² = 4 ∙ x ²

Passo 3

Agora galera devemos analisar os valores que podemos encontrar no intervalo.

Assim a série dada será absolutamente convergente 4 ∙ x ² < 1 .

Desenvolvendo, x ² < 1 4 → - 1 4 < x ² < 1 4 → - 1 2 < x < 1 2

Se x = ± 1 2 : t e m o s

∑ n = 1 + ∞ u n = ∑ n = 1 + ∞ 4 n + 1 1 2 2 n n + 3 = ∑ n = 0 ∞ 4 n + 3

é uma serie harmônica divergente

Portanto, o intervalo aberto de convergência da série dada é - 1 2 , 1 2

E aí, acertaram a resposta? espero que sim em!!!!Nos vemos na próxima pessoal ☺

Resposta

o intervalo de convergência da série dada é - 1 2 , 1 2