Determine o intervalo de convergência da série de potência dada:

∑ n = 1 + ∞ n ! x n n n

Passo 1

Olha nós aqui de novo galera!!! Tudo bem com vocês?

Pessoal nessa questão devemos determinar o intervalo de convergência da série, admitindo que ela é convergente, então ao utilizar l i m n → ∞ u n + 1 u n = L , onde L   <   1 , será possível determinar o intervalo de convergência da série x 1 < x < x 2 ,   e de forma equivalente podemos analisar se o intervalo é aberto ou fechado para cada extremidade e utilizar x 1 , x 2 .

Vamos lá pra questão:

Passo 2

Vamos determinar cada termo do limite atribuindo na série que nos foi dada:

u n = n ! x n n n

u n + 1 = ( n + 1 ) ! x n + 1 ( n + 1 ) n + 1

Substituindo os termos encontrados no limite.

l i m n → ∞ ( n + 1 ) ! x n + 1 ( n + 1 ) n + 1   n ! x n n n = l i m n → ∞ ( n + 1 ) ! x n + 1 ( n + 1 ) n + 1 ∙ n n n ! x n

= l i m n → ∞ n + 1 ! n ! ∙ n n + 1 n n x n + 1 x n = l i m n → ∞ n + 1 n n n + 1 n + 1 x = l i m n → ∞ n n + 1 n x

= l i m n → ∞ n + 1 n n - 1 x = l i m n → ∞ 1 + 1 n n - 1 x = e - 1 x

Passo 3

Agora galera devemos analisar os valores que podemos encontrar no intervalo.

Assim a série dada será absolutamente convergente e - 1 x < 1

Desenvolvendo, - e < x < e

Se x = ± e : temos

∑ n = 1 + ∞ u n = ∑ n = 1 + ∞ ± 1 n n ! ⅇ n n n

é uma divergente por que o l i m n → ∞ n ! ⅇ n n n   ≠ 0

Portanto, o intervalo aberto de convergência da série dada é - e , e

E aí, acertaram a resposta? espero que sim em!!!!Nos vemos na próxima pessoal ☺

Resposta

o intervalo de convergência da série dada é - e , e