Enunciado

Determine o intervalo de convergência da série de potência dada:

∑ n = 1 + ∞ - 1 n + 1 ⋅ 1 ⋅ 3 ⋅ 5 … ⋅ 2 n - 1 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋯ 2 n ⋅ x n

Passo 1

Olha nós aqui de novo galera!!! Tudo bem com vocês?

Pessoal nessa questão devemos determinar o intervalo de convergência da série, admitindo que ela é convergente, então ao utilizar l i m n → ∞ u n + 1 u n = L , onde L   <   1 , será possível determinar o intervalo de convergência da série x 1 < x < x 2 ,   e de forma equivalente podemos analisar se o intervalo é aberto ou fechado para cada extremidade e utilizar x 1 , x 2 .

Outra coisa que devemos utilizar nessa questão é a formula Wallis, através dela poderemos verificar o intervalo de convergência que a série nos apresenta

1 ⋅ 3 ∙ 5 … ⋅ 2 n - 1 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋯ 2 n < 1 π n + 1 4

Vamos lá pra questão:

Passo 2

Vamos determinar cada termo do limite atribuindo na série que nos foi dada:

u n = - 1 n + 1 1 ⋅ 3 ∙ 5 … ⋅ 2 n - 1 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋯ 2 n ⋅ x n

u n + 1 = - 1 n + 2 1 ⋅ 3 ⋅ 5 … ⋅ 2 n + 2 - 1 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋯ 2 n + 2 ⋅ x n + 1

Substituindo os termos encontrados no limite.

l i m n → ∞ - 1 n + 2 1 ⋅ 3 ∙ 5 … ⋅ 2 n + 2 - 1 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋯ 2 n + 2 ⋅ x n + 1   - 1 n 1 ⋅ 3 ∙ 5 … ⋅ 2 n - 1 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋯ 2 n ⋅ x n

= l i m n → ∞ - 1 n + 2 1 ⋅ 3 ∙ 5 … ⋅ 2 n + 2 - 1 ∙ x n + 1 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋯ 2 n + 2 ∙ 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋯ 2 n - 1 n ∙ 1 ⋅ 3 ∙ 5 … ⋅ 2 n - 1 ∙ x n

= l i m n → ∞ 2 n + 1   2 n + 2 x n + 1 x n = l i m n → ∞ 2 n + 1   2 n + 2 x = x

Passo 3

Agora galera devemos analisar os valores que podemos encontrar o intervalo.

Assim a série dada será absolutamente convergente x < 1 .

Desenvolvendo, - 1 < x < 1

Se x = - 1 : temos

∑ n = 1 + ∞ u n = ∑ n = 1 + ∞ - 1 n 1 ⋅ 3 ∙ 5 … ⋅ 2 n - 1 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋯ 2 n = - ∑ n = 1 + ∞ 1 ⋅ 3 ∙ 5 … ⋅ 2 n - 1 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋯ 2 n

Utilizando a desigualdade de Wallis poderemos definir o tipo de série temos

1 ⋅ 3 ∙ 5 … ⋅ 2 n - 1 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋯ 2 n > 1 2 n

E então podemos perceber que a serie é divergente por comparação com p-series com p = 1 2

Agora vamos analisar quando x = + 1

Vamos lá de novo na desigualdade de Wallis.

1 ⋅ 3 ∙ 5 … ⋅ 2 n - 1 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋯ 2 n < 1 2 n

Assim podemos perceber que a série é convergente por series pelo teste de x = 1

Portanto, o intervalo aberto de convergência da série dada é ( - 1   ,   1 ]

E aí, acertaram a resposta? espero que sim em!!!!Nos vemos na próxima pessoal ☺

Resposta

o intervalo de convergência da série dada é ( - 1   ,   1 ]

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