Determine o intervalo de convergência da série de potência dada:

∑ n = 1 + ∞ x + 2 n n + 1 ⋅ 2 n

Passo 1

Olha nós aqui de novo galera!!! Tudo bem com vocês?

Pessoal nessa questão devemos determinar o intervalo de convergência da série, admitindo que ela é convergente, então ao utilizar l i m n → ∞ u n + 1 u n = L , onde L   <   1 , será possível determinar o intervalo de convergência da série x 1 < x < x 2 ,   e de forma equivalente podemos analisar se o intervalo é aberto ou fechado para cada extremidade e utilizar x 1 , x 2 .

Vamos lá pra questão:

Passo 2

Vamos determinar cada termo do limite atribuindo na série que nos foi dada:

u n = x + 2 n n + 1 ⋅ 2 n

u n + 1 = x + 2 n + 1 ( n + 1 ) + 1 ⋅ 2 n + 1 = x + 2 n + 1 n + 2 ⋅ 2 n + 1

Substituindo os termos encontrados no limite.

l i m n → ∞ x + 2 n + 1 n + 2 ⋅ 2 n + 1   x + 2 n n + 1 ⋅ 2 n = l i m n → ∞ x + 2 n + 1 n + 2 ⋅ 2 n + 1 ⋅ n + 1 ⋅ 2 n x + 2 n

= l i m n → ∞ x + 2 n + 1 n + 2 ⋅ 2 n + 1 ⋅ n + 1 ⋅ 2 n x + 2 n

= l i m n → ∞ n + 1 n + 2 ∙ x + 2 2 = l i m n → ∞ n + 1 n + 2 x + 2 2 = x + 2 2

Passo 3

Agora galera devemos analisar os valores que podemos encontrar no intervalo.

Assim a série dada será absolutamente convergente x + 2 2 < 1 .

Desenvolvendo, x + 2 2 < 1 → - 2 < x + 2 < 2 → - 4 < x < 0 . Assim podemos admitir que os a série será absolutamente convergente se ( - 4 ,   0 ) .

Se x =   - 4 : ∑ n = 1 + ∞ - 2 n n + 1 ⋅ 2 n = ∑ n = 1 + ∞ - 1 n n + 1 é uma série convergente.

Se x =   0 : ∑ n = 1 + ∞ 2 n n + 1 ⋅ 2 n = ∑ n = 1 + ∞ 1 n + 1 é uma série divergente harmônica.

Portanto, o intervalo aberto de convergência da série dada é [ - 4 ,   0 ) .

E aí? Acertaram a resposta, espero que sim!!!!Até a próxima pessoal ☺

Resposta

O intervalo de convergência dada é [ - 4 ,   0 ) .