Enunciado

Determine o intervalo de convergência da série de potência dada:

∑ n = 1 + ∞ - 1 n ⋅ 1 ⋅ 3.5 … ⋅ 2 n - 1 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋯ 2 n ⋅ x 2 n + 1

Passo 1

Olha nós aqui de novo galera!!! Tudo bem com vocês?

Pessoal nessa questão devemos determinar o intervalo de convergência da série, admitindo que ela é convergente, então ao utilizar l i m n → ∞ u n + 1 u n = L , onde L   <   1 , será possível determinar o intervalo de convergência da série x 1 < x < x 2 ,   e de forma equivalente podemos analisar se o intervalo é aberto ou fechado para cada extremidade e utilizar x 1 , x 2 .

Vamos lá pra questão:

Passo 2

Vamos determinar cada termo do limite atribuindo na série que nos foi dada:

u n = - 1 n 1 ⋅ 3 ∙ 5 … ⋅ 2 n - 1 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋯ 2 n ⋅ x 2 n + 1

u n + 1 = - 1 n + 1 1 ⋅ 3.5 … ⋅ 2 n + 2 - 1 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋯ 2 n + 2 ⋅ x 2 n + 3

Substituindo os termos encontrados no limite.

l i m n → ∞ - 1 n + 1 1 ⋅ 3 ∙ 5 … ⋅ 2 n + 2 - 1 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋯ 2 n + 2 ⋅ x 2 n + 3   - 1 n 1 ⋅ 3 ∙ 5 … ⋅ 2 n - 1 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋯ 2 n ⋅ x 2 n + 1

= l i m n → ∞ - 1 n + 1 1 ⋅ 3 ∙ 5 … ⋅ 2 n + 2 - 1 ∙ x 2 n + 3 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋯ 2 n + 2 ∙ 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋯ 2 n - 1 n ∙ 1 ⋅ 3 ∙ 5 … ⋅ 2 n - 1 ∙ x 2 n + 1

= l i m n → ∞ 2 n + 1   2 n + 2 x 2 n + 3 x 2 n + 1 = l i m n → ∞ 2 n + 1   2 n + 2 x ² = x ²

Passo 3

Agora galera devemos analisar os valores que podemos encontrar no intervalo.

Assim a série dada será absolutamente convergente x ² < 1 .

Desenvolvendo, - 1 < x ² < 1

Se x = ± 1 : temos

∑ n = 1 + ∞ u n = ∑ n = 1 + ∞ - 1 n 1 ⋅ 3 ∙ 5 … ⋅ 2 n - 1 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋯ 2 n

é convergente por series alternadas.

Portanto, o intervalo aberto de convergência da série dada é [ - 1   ,   1 ]

E aí, acertaram a resposta? espero que sim em!!!!Nos vemos na próxima pessoal ☺

Resposta

o intervalo de convergência da série dada é [ - 1   ,   1 ]

Exercícios de Livros Relacionados

Uma pessoa cujo peso é 5,20 10 2 N está sendo puxada para cima vertica
Uma pequena esfera é pendurada por uma corda no teto de uma van. Quand
Mostre que o comprimento de atenuação Λ é igual à distância média que
Deve-se usar a expressão relativística para a energia cinética do elét
Use os dados da figura 2-17 para calcular a espessura de uma lâmina de