Enunciado

Determine o intervalo de convergência da série de potência dada:

∑ n   =   0 + ∞ x + 3 n 2 n

Passo 1

Falaaaa galera!!! Tudo bem com vocês?

Pessoal nessa questão devemos determinar o intervalo de convergência da série, admitindo que ela é convergente, então ao utilizar o teorema do l i m n → ∞ u n + 1 u n = L , onde L   <   1 , será possível determinar o intervalo expandindo para x 1 < x < x 2 ,   ou x 1 , x 2 ;

então bora lá:

Passo 2

Primeiro vamos determinar cada termo desse limite atribuindo na série que nos foi dada:

u n = x + 3 n 2 n

u n + 1 = x + 3 n + 1 2 n + 1  

Substituindo os termos encontrados no limite.

l i m n → ∞ x + 3 n + 1 2 n + 1 x + 3 n 2 n   = l i m n → ∞   x + 3 n + 1 2 n + 1 ⋅ 2 n x + 3 n =

= l i m n → ∞ x + 3 n x + 3 1 2 n ∙ 2 1 ∙ 2 n x + 3 n

= l i m n → ∞ x + 3 2 = 1 2 x + 3

Passo 3

Agora galera devemos analisar os valores que podemos encontrar no intervalo.

Assim a série dada será absolutamente convergente 1 2 x + 3 < 1 .

Desenvolvendo, x + 3 < 2 → - 2 < x + 3 < 2 → - 5 < x < - 1 .

Se x + 3 = 2 : ∑ n = 0 + ∞ u n = ∑ n = 0 + ∞ 1

Portanto, o intervalo aberto de convergência da série dada é ( - 5 ,   - 1 ) .

Espero que tenham compreendido pessoal !!!!Até a próxima pessoal ☺

Resposta

O intervalo aberto de convergência da série dada é ( - 5 ,   - 1 )

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