Responde Aí

Enunciado

Determine o intervalo de convergência da série de potência dada:

∑ n   =   0 + ∞ x n n + 1 ⋅ 5 n

Passo 1

Falaaaa galera!!! Tudo bem com vocês?

Pessoal nessa questão deveremos determinar o intervalo de convergência da série, admitindo que ela é convergente, então ao utilizar l i m n → ∞ u n + 1 u n = L , onde L   <   1 , será possível determinar o intervalo de convergência da série x 1 < x < x 2 ,   ou x 1 , x 2 , então bora lá:

Passo 2

Assim vamos determinar cada termo do limite atribuindo na série que nos foi dada:

u n = x n n + 1 ⋅ 5 n

u n + 1 = x n + 1 n + 1 + 1 ⋅ 5 n + 1 = x n + 1 n + 2 ⋅ 5 n + 1

Substituindo os termos encontrados no limite.

l i m n → ∞ x n + 1 n + 2 ⋅ 5 n + 1 x n n + 1 ⋅ 5 n = l i m n → ∞   x n + 1 n + 2 ⋅ 5 n + 1 ⋅ n + 1 ⋅ 5 n x n =

= l i m n → ∞ x n ∙ x 1 n + 2 ∙   5 n ∙ 5 1 ∙ n + 1 ⋅ 5 n x n

= l i m n → ∞ n + 1 n + 2 ⋅ x 5 = l i m n → ∞ 1 + 1 n 1 + 1 n ⋅ 1 5 x

= l i m n → ∞ x 5 = x 5

Passo 3

Então galera a série dada será absolutamente convergente se x 5 < 1 , ou equivalente a - 5 < x < 5 . Agora ao analisar os pontos finais de x , podemos obter;

Quando x = - 5 :

∑ n = 0 + ∞ - 5 n n + 1 ⋅ 5 n = ∑ n = 0 + ∞ - 1 n n + 1

Que é convergente pelo teste de series alternadas.

Quando x = 5 a series de potência dada torna-se;

∑ n = 0 + ∞ 5 n n + 1 ⋅ 5 n = ∑ n = 0 + ∞ 1 n + 1

Que é divergente e por series harmônicas. Portanto, o intervalo de convergência da série dada é [ - 5 ,   5 )

Espero que tenham compreendido pessoal!!!!Até a próxima pessoal ☺

Resposta

o intervalo de convergência da série dada é [ - 5 ,   5 )