Enunciado

Determine o intervalo de convergência da série de potência dada:

∑ n = + ∞ s i n h s i n h   2 n   x n

Passo 1

Olha nós aqui de novo galera!!! Tudo bem com vocês?

Pessoal nessa questão devemos determinar o intervalo de convergência da série, admitindo que ela é convergente, então ao utilizar l i m n → ∞ u n + 1 u n = L , onde L   <   1 , será possível determinar o intervalo de convergência da série x 1 < x < x 2 ,   e de forma equivalente podemos analisar se o intervalo é aberto ou fechado para cada extremidade e utilizar x 1 , x 2 .

Convem lembrar galera que a nossa série deve ser reformulada para:

1 2 ∑ n = 1 + ∞ e 2 n - ⅇ - 2 n ∙ x n

Vamos lá pra questão:

Passo 2

Vamos determinar cada termo do limite atribuindo na série que nos foi dada:

u n = e 2 n - ⅇ - 2 n ∙ x n

u n + 1 = e 2 ( n + 1 ) - ⅇ - 2 ( n + 1 ) ∙ x n + 1 = e 2 n + 2 - ⅇ - 2 n - 2 ∙ x n + 1

Substituindo os termos encontrados no limite.

l i m n → ∞ e 2 n + 2 - ⅇ - 2 n - 2 ∙ x n + 1   e 2 n - ⅇ - 2 n ∙ x n = l i m n → ∞ ⅇ 2 n + 2 1 - ⅇ - 4 n - 4   ⅇ 2 n 1 - ⅇ - 4 n x n + 1   x n

= l i m n → ∞ ⅇ 2 n ⅇ + 2 1 - ⅇ - 4 n - 4   ⅇ 2 n 1 - ⅇ - 4 n x = ⅇ 2 x

Passo 3

Agora galera devemos analisar os valores que podemos encontrar no intervalo.

Assim a série dada será absolutamente convergente ⅇ 2 x < 1 .

Desenvolvendo, ⅇ 2 x < 1 → - 1 ⅇ 2 < x < 1 ⅇ 2

Se x = ± 1 ⅇ 2 : 1 2 ∑ n = 1 ∞ ± 1 1 - e - 4 n é divergente por que l i m n → ∞ 1 - e - 4 n = 1 ≠ 0 .

Portanto, o intervalo aberto de convergência da série dada é - 1 ⅇ 2 ; 1 ⅇ 2 .

E aí, acertaram a resposta? espero que sim em!!!!Nos vemos na próxima pessoal ☺

Resposta

o intervalo aberto de convergência da série dada é - 1 ⅇ 2 ; 1 ⅇ 2 .

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