Enunciado

Determine o intervalo de convergência da série de potência dada:

∑ n = 1 + ∞ x n l n l n   n + 1  

Passo 1

Olha nós aqui de novo galera!!! Tudo bem com vocês?

Pessoal nessa questão devemos determinar o intervalo de convergência da série, admitindo que ela é convergente, então ao utilizar l i m n → ∞ u n + 1 u n = L , onde L   <   1 , será possível determinar o intervalo de convergência da série x 1 < x < x 2 ,   e de forma equivalente podemos analisar se o intervalo é aberto ou fechado para cada extremidade e utilizar x 1 , x 2 .

Vamos lá pra questão:

Passo 2

Vamos determinar cada termo do limite atribuindo na série que nos foi dada:

u n = x n l n l n   n + 1  

u n + 1 = x n + 1 l n l n   n + 1 + 1   = x n + 1 l n l n   n + 2  

Substituindo os termos encontrados no limite.

l i m n → ∞ x n + 1 l n l n   n + 2     x n l n l n   n + 1   = l i m n → ∞ x n + 1 l n l n   n + 2   ∙ l n l n   n + 1     x n

= l i m n → ∞ l n l n   n + 1     l n l n   n + 2   x = 1 x

Passo 3

Agora galera devemos analisar os valores que podemos encontrar no intervalo.

Assim a série dada será absolutamente convergente x < 1 .

Desenvolvendo, x < 1 → - 1 < x < 1

Se x = - 1 : t e m o s ∑ n = 1 + ∞ - 1 n l n l n   n + 1   é convergente com series alternadas

Se x = 1 : ∑ n = 1 + ∞ 1 l n l n   n + 1   que diverge em comparação com series harmônicas

Portanto, o intervalo aberto de convergência da série dada é [ - 1,1 )

E aí, acertaram a resposta? espero que sim em!!!!Nos vemos na próxima pessoal ☺

Resposta

o intervalo de convergência da série dada é [ - 1,1 ) .

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