Determine o intervalo de convergência da série de potência dada:

∑ n = 2 + ∞ - 1 n + 1 x n n n ) ²  

Passo 1

Olha nós aqui de novo galera!!! Tudo bem com vocês?

Pessoal nessa questão devemos determinar o intervalo de convergência da série, admitindo que ela é convergente, então ao utilizar l i m n → ∞ u n + 1 u n = L , onde L   <   1 , será possível determinar o intervalo de convergência da série x 1 < x < x 2 ,   e de forma equivalente podemos analisar se o intervalo é aberto ou fechado para cada extremidade e utilizar x 1 , x 2 .

Vamos lá pra questão:

Passo 2

Vamos determinar cada termo do limite atribuindo na série que nos foi dada:

u n = - 1 n + 1 x n n n ) ²  

u n + 1 = - 1 n + 1 + 1 x n + 1 ( n + 1 ) l n l n   n + 1   ² = - 1 n + 2 x n + 1 ( n + 1 ) l n l n   n + 1   ²

Substituindo os termos encontrados no limite.

l i m n → ∞ - 1 n + 2 x n + 1 ( n + 1 ) l n l n   n + 1   ²   - 1 n + 1 x n n n ) ²   = l i m n → ∞ - 1 n + 2 x n + 1 ( n + 1 ) l n l n   n + 1   ² ∙ n n ) ²     - 1 n + 1 ∙ x n

= l i m n → ∞ - 1 n + 2   - 1 n + 1 ∙ n   n + 1 ∙ n ) ²     l n l n   n + 1   2 ∙ x n + 1   x n

= l i m n → ∞ - 1 ∙ n   ( n + 1 ) ∙ n ) ²     l n l n   n + 1   ² ∙ x

= l i m n → ∞ n   n + 1 l n l n   n   + l n l n   1 + 1 n     =

l i m n → ∞ 1   ( 1 + 1 n ) 1   l n ( 1 + 1 n )   l n l n   n   ∙ x = x

Passo 3

Agora galera devemos analisar os valores que podemos encontrar no intervalo.

Assim a série dada será absolutamente convergente x < 1 .

Desenvolvendo, x < 1 → - 1 < x < 1

Se x = ± 1 : t e m o s ∑ n = 2 + ∞ ± 1 n + 1 n ) ²   é uma serie convergente

Portanto, o intervalo aberto de convergência da série dada é [ - 1,1 ]

E aí, acertaram a resposta? espero que sim em!!!!Nos vemos na próxima pessoal ☺

Resposta

o intervalo de convergência da série dada é [ - 1,1 ] .