Enunciado

Determine o intervalo de convergência da série de potência dada:

∑ n = 1 + ∞ l n l n   n   x - 5 n n + 1

Passo 1

Olha nós aqui de novo galera!!! Tudo bem com vocês?

Pessoal nessa questão devemos determinar o intervalo de convergência da série, admitindo que ela é convergente, então ao utilizar l i m n → ∞ u n + 1 u n = L , onde L   <   1 , será possível determinar o intervalo de convergência da série x 1 < x < x 2 ,   e de forma equivalente podemos analisar se o intervalo é aberto ou fechado para cada extremidade e utilizar x 1 , x 2 .

Vamos lá pra questão:

Passo 2

Vamos determinar cada termo do limite atribuindo na série que nos foi dada:

u n = l n l n   n   x - 5 n n + 1

u n + 1 = l n l n   ( n + 1 )   x - 5 n + 1 ( n + 1 ) + 1 = l n l n   ( n + 1 )   x - 5 n + 1 n + 2

Substituindo os termos encontrados no limite.

l i m n → ∞ l n l n   ( n + 1 )   x - 5 n + 1 n + 2 l n l n   n   x - 5 n n + 1 = l i m n → ∞ l n l n   ( n + 1 )   x - 5 n + 1 n + 2 ∙ n + 1 l n l n   n   x - 5 n

= l i m n → ∞ n + 1   n + 2 ∙ l n l n   n   + l n l n   1 + 1 n   l n l n   n  

= l i m n → ∞ 1 + 1 n 1 + 2 n 1 + l n l n   1 + 1 n   l n l n   n   1 ∙ x - 5 = x - 5

Passo 3

Agora galera devemos analisar os valores que podemos encontrar no intervalo.

Assim a série dada será absolutamente convergente x - 5 < 1 .

Desenvolvendo, x - 5 < 1 → 4 < x < 6

Se x = 6 : temos,

∑ n = 1 + ∞ u n = ∑ n = 1 + ∞ l n l n   n   n + 1

É uma série divergente em comparação com ∑ n = 1 + ∞ 1 n + 1

Se x   = 4 :

∑ n = 1 + ∞ - 1 n l n l n   n   n + 1

é uma serie convergente pelas series alternada teste l i m x → ∞ l n l n   x   x + 1 = l i m x → ∞ 1 x 1 = 0 e

ⅆ ⅆ x l n l n   x   x + 1 = 1 + 1 x - l n l n   x   x + 1 2 < 0 para x ≤ 4 , assim pessoal os termos estão decrescendo

Portanto, o intervalo aberto de convergência da série dada é [ 4 ,   6 )

E aí, acertaram a resposta? espero que sim em!!!!Nos vemos na próxima pessoal ☺

Resposta

o intervalo de convergência da série dada é [ 4 ,   6 )

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