Determine a n de modo que a equação

∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 + 2 ∑ n = 0 ∞ a n x n =0

Seja satisfeita. Tente identificar a função representada pela série ∑ n = 0 ∞ a n x n

Passo 1

Oi galerinha! Tudo bem?

Vamos juntos resolve mais uma questão!

Afiados em Serie de Taylor?

Bora lá começar então!

Dada nossa expressão:

∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 + 2 ∑ n = 0 ∞ a n x n =0

Vou deslocar o índice do primeiro termo da soma para m   =   n - 1 , assim teremos que:

∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 =   ∑ m = 0 ∞ ( m + 1 ) a m + 1 x m  

Agora vou substituir essa informação na equação dada no exercício fazendo com que m = n

∑ n = 0 ∞ ( n + 1 ) a n + 1 x n + 2 ∑ n = 0 ∞ a n x n =0

Ou simplificando ainda mais:

∑ n = 0 ∞ [ ( n + 1 ) a n + 1 +   2 a n ] x n =0

Utilizando nossa nova expressão podemos definir que:

a n + 1 =   - 2 a n n + 1

Para n   = 0,1 , 2,3   . . .

Assim podemos escrever os temos da série como:

a 1 =   - 2 a 0

a 2   =   - 2 a 1 2 = 2 2 a 0 2

a 3   =   - 2 a 2 3   =   - 2 ³   a 0 / 2 .   3 =   - 2 ³     a 0 / 3 ! . .

Onde este mesmo raciocino vai continuar até a n , sendo ele :

a n = - 1 n 2 n a 0 n !

Firmeza, tudo bem?

Beleza, vamos continuar então!

Observe que para n   =   0 logo a expressão dada se reduz a a 0 para que possamos escrever:

∑ n = 0 ∞ a n x n = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n a 0   x n n !

a 0 ∑ n = 0 ∞ ( - 2 x ) n n ! =   a 0   e - 2 x

Ufa essa foi longa!

Te vejo na próxima questão!

Resposta

∑ n = 0 ∞ a n x n =   a 0   e - 2 x