Determine um numero positivo sigma para o épsilon dado tal que |f(x)-L|> e sempre que 0

1 f(x) = 4x2-9 / 2x-3, a=3/2, L=6, e=0,001

Passo 1

Opa galeeeeera! Hoje vamos ver mais um pouco sobre a definição precisa de limites.

O enunciado nos pede para achar um valor positivo de δ , para o limite de f x = 4 x 2 - 9 2 x - 3     com x tendendo a 3 2 .

Vamos começar desenhando o gráfico da função para termos uma intuição melhor.

E também vamos marcar o ponto x = a , x = a - δ e x = a + δ tracejar até a reta da função e achar os valores de f ( a + δ ) , f ( a - δ ) e marcar o ponto y = L , assim como representado a baixo.

Passo 2

Vamos calcular o valor de cada um destes:

O enunciado diz que a = 3 2 , L = 6 e que ϵ = 0.001 ,   Então:

L + ϵ = 6.001

L - ϵ = 5.999

Agora precisamos encontrar algum valor de δ de forma que quando pegarmos f a - δ e f a + δ esses dois valores estejam dentro do intervalo encontrado ( 5.999   ,   6.001 ) .

Para isso poderemos utilizar claramente um δ = 0.00005 (relativamente menor do que o ϵ ) , e vamos testar se os valores de pegarmos f ( a - δ ) e f ( a + δ ) estão no intervalo pedido.

Passo 3

Assim: f a + δ = 4 x 2 - 9 2 x - 3

Substituindo os valores:

;

f 3 2 + 0.00005 = 4 ⋅ 1 . 50005 2 - 9 2 ⋅ 1 . 50005 - 3 = 6.0001   E o valor superior: f a - δ = 4 ⋅ 1.49995 2 - 9 2 ⋅ 1.49995 - 3 = 5.9999

Como ambos os valores estão dentro do intervalo pedido

5.999 < 5.9999 < 6.0001 <   6.001

O valor proposto de δ é valido para definir este limite.

Resposta

δ = 0.00005