Determine um numero positivo sigma para o épsilon dado tal que |f(x)-L|> e sempre que 0

1 f(x) = 1-5x, a=3, L=-14, e=0,02

Passo 1

Opa galeeeeera! Hoje vamos ver mais um pouco sobre a definição precisa de limites.

O enunciado nos pede para achar um valor positivo de δ , para o limite de f x = 1 - 5 x com x tendendo a 3 .

Vamos começar desenhando o gráfico da função para termos uma intuição melhor.

E também vamos marcar o ponto x = a , x = a - δ e x = a + δ tracejar até a reta da função e achar os valores de f ( a + δ ) , f ( a - δ ) e marcar o ponto y = L , assim como representado a baixo.

Passo 2

Vamos calcular o valor de cada um destes:

O enunciado diz que a = 3 , L = - 14 e que ϵ = 0.0 2 ,   Então:

L + ϵ = - 13 . 9 8

L - ϵ = - 14 . 0 2

Agora precisamos encontrar algum valor de δ de forma que quando pegarmos f ( a - δ ) e f ( a + δ ) esses dois valores estejam dentro do intervalo encontrado ( - 13 . 9 8 , - 14 . 0 2 ).

Para isso poderemos utilizar claramente um δ = 0.0 0 05 (relativamente menor do que o ϵ ) , e vamos testar se os valores de pegarmos f ( a - δ ) e f ( a + δ ) estão no intervalo pedido.

Passo 3

Assim: f a - δ = 2 a - δ - 7

Substituindo os valores:

f 3 - 0.00 0 5 = 1 - 5 2 . 999 5 = - 13.9 975   E o valor superior: f a + δ = 1 - 5 3 . 000 5 = - 14 . 0025

Como ambos os valores estão dentro do intervalo pedido

- 13.98 > 13.9975 > - 14.0025 > - 14.02

O valor proposto de δ é valido para definir este limite.

Resposta

δ = 0.0005