Determine um numero positivo sigma para o épsilon dado tal que |f(x)-L|> e sempre que 0

1 f(x) = 2x-7, a=-1, L=-9, e=0,01

Passo 1

Opa galeeeeera! Hoje vamos ver mais um pouco sobre a definição precisa de limites.

O enunciado nos pede para achar um valor positivo de δ , para o limite de f ( x ) = 2 x - 7 com x tendendo a - 1 .

Vamos começar desenhando o gráfico da função para termos uma intuição melhor.

E também vamos marcar o ponto x = a , x = a - δ e x = a + δ tracejar até a reta da função e achar os valores de f ( a + δ ) , f ( a - δ ) e marcar o ponto y = L , assim como representado a baixo.

Passo 2

Vamos calcular o valor de cada um destes:

O enunciado diz que a = - 1 , L = - 9 e que ϵ = 0.01 ,   Então:

L + ϵ = - 8 . 99

L - ϵ = - 9.01

Agora precisamos encontrar algum valor de δ de forma que quando pegarmos f ( a - δ ) e f ( a + δ ) esses dois valores estejam dentro do intervalo encontrado ( - 8.99 , - 9.01 ).

Para isso poderemos utilizar claramente um δ = 0.0 0 05 (relativamente menor do que o ϵ ) , e vamos testar se os valores de pegarmos f ( a - δ ) e f ( a + δ ) estão no intervalo pedido.

Passo 3

Assim: f a - δ = 2 a - δ - 7

Substituindo os valores:

f - 1 - 0.00 0 5 = 2 - 1.00 0 5 - 7 = - 9.0 0 1   E o valor superior: f a + δ = 2 0.9995 - 7 = - 8 . 999  

Vamos avaliar se estes valores estão coerentes mostrando em um gráfico em escala:

Os pontos em azul são os f ( a ± δ ) , que estão dentro do intervalo pedido.

Resposta

δ = 0.0005