Determine um numero positivo sigma para o épsilon dado tal que |f(x)-L|> e sempre que 0

1 f(x) = 5x+1, a=-2, L=-9, e=0,02

Passo 1

Opa galeeeeera! Hoje vamos ver mais um pouco sobre a definição precisa de limites.

O enunciado nos pede para achar um valor positivo de δ , para o limite de f x = 1 - 5 x com x tendendo a 3 .

Vamos começar desenhando o gráfico da função para termos uma intuição melhor.

E também vamos marcar o ponto x = a , x = a - δ e x = a + δ tracejar até a reta da função e achar os valores de f ( a + δ ) , f ( a - δ ) e marcar o ponto y = L , assim como representado a baixo.

Passo 2

Vamos calcular o valor de cada um destes:

O enunciado diz que a = - 2 , L = - 9 e que ϵ = 0.0 0 2 ,   Então:

L + ϵ = - 8 . 9 9 8

L - ϵ = - 9 . 0 0 2

Agora precisamos encontrar algum valor de δ de forma que quando pegarmos f a - δ e f a + δ esses dois valores estejam dentro do intervalo encontrado ( - 8.998 , - 9.002 ) .

Para isso poderemos utilizar claramente um δ = 0.0 0 0 05 (relativamente menor do que o ϵ ) , e vamos testar se os valores de pegarmos f ( a - δ ) e f ( a + δ ) estão no intervalo pedido.

Passo 3

Assim: f a + δ = 5 a - δ + 1

Substituindo os valores:

f - 2 + 0.00 0 0 5 = 5 - 1 . 999 9 5 + 1 = - 8.99975   E o valor superior: f a - δ = 5 - 2 . 00 0 0 5 + 1 = - 9.00 0 25

Como ambos os valores estão dentro do intervalo pedido

- 9.002 < - 9.00 0 25 < - 8.99 9 75 < - 8.998

O valor proposto de δ é valido para definir este limite.

Resposta

δ = 0.00 0 05