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Determine a série de Fourier da função dada:

(b) f (x) = |x| , - pi <= x <= pi

Passo 1

Bom, primeiro devemos saber que uma série de Fourier é uma forma de expressarmos uma função qualquer em termos de séries infinitas de senos e cossenos.

Dito isso, è muito interessante que você tente esboçar o comportamento dessa função, pois dessa forma você irá visualizar melhor que temos uma função par, pois ela é simétrica em relação ao eixo O_y .

Além disso perceba que - pi <= l <= pi .

Podemos introduzir então a fórmula geral de uma série de Fourier:

f (x) = (a_0)/(2) + sum_(n = 1)^(oo) a_n cos ((n pi x)/(l)) + sum_(n = 1)^(oo) b_n sin ((n pi x)/(l))

Onde a_0 , a_n e b_n são os coeficientes da série e l = pi .

Agora vamos encontrar todos os coeficientes sabendo que eles possuem fórmulas específicas

Passo 2

  1. Cálculo de a_0 :

    2. a_0 = (1)/(l) int_(- l)^l f ( x ) d x

    Obs: sabemos que f (x) é uma função par, uma das propriedades de uma função desse tipo é que:

    int_(- pi)^(pi) f (x) d x = 2 int_0^(pi) f (x) d x

    Essa é uma propriedade muito importante das funções pares, tente sempre se lembrar dela.

    Continuando...

    a_0 = (2)/(pi) int_0^(pi) f (x) d x = int_0^(pi) x d x

    Resolvendo a integral,

    a_0 = (2)/(pi) [(x^2)/(2)] (pi)/(0)

    Então:

    a_0 = pi

    Próximo coeficiente:

  2. Cálculo de a_n :

    3. a_n = (1)/(l) int_(- l)^l f (x) cos ((n pi x)/(l)) d x

    Novamente, perceba que f (x) e c o s ( ... ) são funções pares, então já sabe:

    a_n = (2)/(pi) underset(I_1)(ubrace int_0^(pi) x cos (n x) d x)

    Agora é só resolver a integral, resolvendo por partes:

    {[[u,=,x],[d,u,=,d,x],[d,v,=,cos (n x),d,x],[v,=,(sin (n x))/(n)]])

    I_1 = u . v - int_0^(pi) v d u

    I_1 = (x)/(n) sin (n x) - (1)/(n) int_0^(pi) sin (n x) d x

    Portanto,

    I_1 = [(x sin (n x))/(n)] (pi)/(0) + (1)/(n^2) [cos (n x)] (pi)/(0)

    Como n = 1,2 , 3 ... então sin (n pi) = 0 para qualquer valor de n (lembre-se do círculo trigonométrico)

    Perceba também que de acordo com o círculo trigonométrico, se n ímpar, cosseno será - 1 ( cos (1 pi) ; cos (3 pi) ; ... ) e caso n p a r cosseno será 1 ( cos (2 pi) ; cos (4 pi) ; ... )

    Então vamos dar uma arrumada nesse trem,

    I_1 = (1)/(n) [((- 1)^n - 1)/(n)]

    Resumo da ópera:

    a_n = (2)/(pi n^2) [(- 1)^n - 1]

    Passo 3

    Pra terminar,

  3. Cálculo de b_n :

b_n = (1)/(l) int_(- l)^l f ( x ) sin ((n pi x)/(l)) d x

Olhe bem para a fórmula, perceba que nesse caso o nosso f (x) é u m a f u n ç ã o p a r e seno é uma função ímpar.

Tá, mas e daí??

E daí que existe uma propriedade, que fala sobre o produto de duas funções desse tipo; ela nos diz que o resultado da multiplicação entre uma função par e uma ímpar, será outra função ímpar.

Isso significa então que f (x) sin ((n pi x)/(l)) é uma função ímpar.

Legal! E agora?

Agora, uma das propriedades das funções ímpares, é que:

int_(- a)^a f_í m p a r = 0

Isso ocorre sempre, então é muito importante que vc se lembre disso.

Resumindo...

b_n = 0

Simples assim.

Pronto, tendo calculado todos os coeficientes, é só jogar tudo na fórmula geral para uma série de Fourier:

f (x) = (pi)/(2) + sum_(n = 1)^(oo) (2)/(pi n^2) [(- 1)^n - 1] c o s ( n x )

Resposta

Concluímos então que a série de Fourier para a função dada, assume a seguinte forma:

f (x) = (pi)/(2) + (2)/(pi) sum_(n = 1)^(oo) ((- 1)^n - 1)/(n^2) cos (n x)

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