Determine N(t) para a situação do problema 7.7.

Passo 1

No problema 7.7, o enunciado nos diz que a taxa de variação é proporcional ao produto do número de infectados e não infectados, então:

(d N)/(d t) = k N (500 - N)

Agora, precisamos achar a solução com as condições iniciais.

Passo 2

Desenvolvendo a solução por EDO separável.

(d N)/(d t) = k N (500 - N)

int (1)/(N ( 500 - N )) d m = k int d t

(1)/(500) (ln (N) - ln (500 - N)) + c = k t

ln (N) - ln (500 - N) = 500 (c + k t)

ln ((N)/(500 - N)) = 500 ( c + k t )

Usando propriedades logarítmicas e^(b l n ( k )) = k^b .

(N)/(500 - N) = e^(500 ( c + k t ))

Substituindo a constante afim de simplificar e^(500 c) = c .

(N)/(500 - N) = c e^(500 k t)

Agora, o que precisamos é aplicar as condições iniciais do enunciado.

Em t = 0 , N = 50

(5)/(495) = c e^0

c = (1)/(99)

Reescrevendo nossa solução:

(N)/(500 - N) = (e^(500 k t))/(99)

99 N = (500 - N) e^(500 k t)

99 N + N e^(500 k t) = 500 e^(500 k t)

N (99 + e^(500 k t)) = 500 e^(500 k t)

N = (500 e^(500 k t))/(99 + e^(500 k t))

E aqui acabamos a solução!!

Resposta

N = (500 e^(500 k t))/(99 + e^(500 k t))